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1、 第四章 风险、收益与投资者效用 投资者的过程与资产组合理论 收益的度量 风险的度量 风险态度的度量 投资的过程 投资过程主要由两部分工作组成： 第一部分工作是证券与市场的分析，在这一部分我们对投资者可能选择的所 有投资工具的风险及期望收益的特性进行评估； 第二部分工作是对资产进行最优资产组合的构建，它涉及在可行的资产组合 中决定最佳风险-收益机会，从可行的资产组合中选择最好的资产组合。 资产组合理论的三个议题 第一个议题是基本原则，即投资者规避风险并对风险投资要求有相应的回报； 在第二个议题中，我们概括并确定投资者个人在资产组合风险与期望收益之间的权 衡； 第三个原则是，我们无法脱离资产组合
2、，对作为资产组合一部分的资产进行单独的 评估。也就是看起来有风险的也许是资产组合的稳定器。 收益的度量一、持有期收益率证券投资收益来源于两部分 证券价格变化带来的收益 持有证券而获得的现金支付 持有期收益率(Holding Period Return, HPR)HFR =（匕 PJ+DP.般来讲，HPR是指年收益率 二、多期收益率的衡量不同的时期投资的收益率不同，需要将每年的投资收益率进行平均或者加总，以便 衡量整个投资期间的投资表现算术平均法： 将各期收益率的简单算术平均值作为整个投资期的投资收益率，具体计算公式：HPR =工 HPRJ ni=l几何平均法 算术平均法得到的平均收益率只是投资
3、者真实收益率的一个近视值，几何平均法更为准确： flHPR = H(1+肿K)-1_ Z=1_三、投资组合的收益率多个资产组成的投资组合的投资收益率四、期望收益率持有收益率：从事后角度，或者当投资者收益存在不确定性的时候计算出的投资收 益率Rp=WlRl + W2R2+. + WnR,其中忆=1 i=l期望收益率：从事前角度，对未来不确定的投资收益进行衡量，进而为投资决策提 供依据nnE(HPR) =Pj xHPRj,SPj = 1丿=1丿=1见例41、4.2 o 风险的度量一、风险的定义从某种程度上讲，我们可以将风险视为结果的不确定性。在投资过程中，投资者可 能遭遇的风险来自： 市场风险 利
4、率风险 汇率风险 通胀风险 财务风险 经营风险 流动性风险二、不同资产风险的比较我们说资产y的风险比z大，如果存在一个随机变量e满足y E(y) = dz E(z) + w,且= E()= 0更进一步，如果e是一个非零的随机变量，那么我们就称y的风险严格比z大。三、风险的度量传统的风险度量方法：范围法(Range)：随机变量的最大、最小值的距离标准差法(Standard Deviation)：随机变量的方差或者标准差来度量风险n 2b2 =PjX(HPR厂帀舟尸i变异系数(Coefficient of Variance)：考虑了投资者在风险和收益之间的替代关系,但是这种替代关系是线性的CV =
5、四、资产组合的风险假设某一资产组合P中包含N个资产: 整个资产组合的收益率为NNG = mV + W2石+.+ WnN = L,E（口）=乙出（rji=ii=i 资产组合的方差为:厂-12N N”2厂町乙（乙）=为为叱w/q=1 JPl12 -6nb, =wyM7 = （Wi，W2WN）6112 -”2NaNlN2-nnJ艸丿 VaR VaR 给出了风险资产或组合在一个给定的置信区间与一定的目标水平和持有期间 内，在正常市场条件下的最大损失。 假定w为未来组合价值，f(w)为其概率分布，在给定的置信水平c下，我们试图找 到单边置信下限W*。1 c=f （w）dw = p = p（w W*） =
6、 pJoo 风险态度及其度量一、投资者的风险态度与效用函数公平赌博(Fair Game) ”的概念：记为一个公平赌博则根据参与者效用函数的不同分为三类:风险规避，若E“(w + g) Ew(M7),VEg = 0 v)9VEg=0 投资者险险态度与效用函数的形状是有关系的:当且仅当u()是严格凹函数时，参| = 0 与者是严格风险规避的。不同风险偏好的示意图4ab/ I b彼得堡悖论 数学家丹尼尔贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这 是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时 为止。在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R
7、的公式为 R(n)=2n 公式中的n为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬 币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。参加者可能遇到的各种情况的概 率及报酬见表。 彼得堡悖论 参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表反面概率报酬概率X报酬01/211/211/421/221/841/231/1681/2.n.(1/2)n+1.2n1/2彼得堡悖论如果n为0他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1,他可以得 到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n,他可以得到的全部期望报酬为 E(R)=Pr(n)R(n)=1/2+1/2+=叫 由于
8、门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。贝诺 里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。他指出，参加者赋予所有报酬的每一 元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。因此，函数log(R) 给报酬为r元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。最后，他 计算出风险报酬应为 2 元，这是参加者愿付的最高价。二、风险规避的度量对于绝大多是投资者，或者在绝大多数情况下，风险带给投资者的效用都是负的。 因此，一般情况下，我们都假定投资者是风险规避的。效用函数Premium）。资者者对这一风险的规避程度(I我们也可以用不同风险水平下,;得到同样效用水平的期望
9、收益之差a3-a2来衡量为了获取确定性的收益而愿意放弃的风险收益水平，这一指标又称为风险溢价(Risk风险溢价 国沪心粘电竝蓉门奴门区或一个投资者参与一个公平赌博直所要求的风险溢价水平0 ，可以定义为:Eu（W + g） = Z/（W 7T） 等式表明，风险溢价兀就是投资者为了避免参与某一公平赌博所愿意放弃的财富值，其中，兀被称为风险赌博的确定性等价(Certainty Equivalence) 需要补充一点的是，上面把风险溢价定义为投资者为避免参与某一公平赌博所愿意放弃的财富值。我们也可以从另外一个角度将风险溢价定义成为了让投资者参与某 一公平赌博而给他的最小的财富补偿，即：E w(w +
10、g + 穴)二 “(w) 显然，当p的取值非常微小的时候(对应着小风险水平的赌博)，二者是近似相 等的。对风险溢价第一个定义式在w点进行Taylor展开Eu(w+g) = ”(w)+u (w)E(g)+|(w)E(g2)+o(g2) =2/ ( W) (W)7T + O(7r) = M(W 7F)当取值范围非常小时，高阶无穷小也是非常微小的量。进而，我们可以得到：从上式可以看出，小风险的风险溢价程度与两个因素有关: 风险水平，也即注意到，该比例系数 于投资者对待风险的态比例系数，也即取决于投资者的效用函数形式，或者说取决由于，u 3) 皿(W)0,c vO/(w) =u(w) -2c (w)
11、b + 2cw此时，当财富数量增加时，风险规避系数也是增加的。 以对数函数为例，假设效用是财富水平的对数函数，则相应的风险规避系数为z/(w) = 7m(w),其中w OM(w) u (w)z/(w)此时，当财富数量增加时，风险规避系数是降低的。 以指数函数为例，假设效用是财富水平的指数函数，则相应的风险规避系数为其中/(M(w)一鶉这个时候财富水平的变化不会影响投资者风险规避程度。绝对风险规避系数是一 个成熟。我们称这种效用函数为常数绝对风险规避(Constant Absolute Risk Aversion, CARA)函数。相对风险规避系数( Relative Risk Aversion
12、) 绝对风险规避系数：没有考虑财富水平的变化相对于投资者总财富水平的大小 相对风险规避系数衡量了投资者对总财富某一比例变化的规避程度。 假定参与者在赌博中的盈亏数量是其总财富的某一比例，参与者的风险溢价水平也 是定义在总财富的基础上，数值等于，此时我们有：E(w +刖)=帥_兀艸),进而有怎 =* -wz/(w)“ (w)Var7?(W)= W*/(W)参与者的相对风险规避系数(Relative Risk Aversion)为人(0 容易得到：三、风险规避的比较利用风险溢价指标，考察同一投资者对同一风险水平的规避程度: 我们可以通过比较ieifi和e2f2（的长度，来比较投资者在面临这两个风险时的风险 规避程度。利用风险溢价指标，考察不同投资者面临相同风险时的风险溢价程度：审1巧 巧 F=I几泳.七右 i佚 I： FT R71图3-4不同投资者对同一赌博的风险溢价规避程度。 一个常用的效用函数U = E(r) - 0.005肿 其中，u为效用值，A为投资者的风险厌恶指数，r为收益率，b为收益率的标准差。
