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1、2010-2011年度论文数学归纳法在恒等式中的应用系别：数学系姓名：马炜学号：0901070101071 数学归纳法在恒等式中的应用指导教师 陈信专业 数学与应用数学班级 09数本2论文提交日期 2011.5.24目 录摘要11.数学归纳法的定义概述21.1常用数学证明方法21.2数学归纳法的定义32.数学归纳法的步骤43.易错分析5 3.1弄不清到时的式子变化53.2运用数学归纳法时忽略了时的假设条件54.运用数学归纳法的典型例题55.中学数学中关于数学归纳法的用途6参考文献 6数学归纳法在恒等式中的应用【摘 要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助
2、,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。数学归纳法在恒等式的证明中有着其非常巧妙的一面,尤其是在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳猜想证明”这一探索发现的思维方法。【关键词】 归纳法 猜想 恒等式 证明方法 1数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机
3、科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)。Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是。最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。) 这个方法的原理在于第一步
4、证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。1 数学归纳法的概述1.1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学恒等式的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，常用的数学方法大致有以下几种：1.1.1 演绎推理从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法。1.1.2 归纳推理由特殊到一般的推理叫做归纳推理，它又称归纳法。归纳推理分为完全归纳法不完全归纳法两种。1.1.3 不完全归纳法根据某类事物中一些事物具有某种属性，推出该类事物全体都有这种属性的归纳推理，叫做不完全归纳法。1
5、.1.4 完全归纳法在研究了事物的所有（有限）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。(完全归纳法得出的结论是可靠的)。1.1.5 数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n相关命题的一种方法。1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念: 数学归纳法是一种先得出首个例子的正确性,而后通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法. 常用来证明与自然数n有关的相关命题2 数学归纳法的步骤数学归纳法步骤严谨,如果把要证明的命题记作P(n),那么数学归纳法的步骤为:(1) 证明当n取对命题适用的第一个自然数n1时,p(n1)正确。2(2)假设n=k(且k大于等于零)时,命题成立,即p(k)正确.证明当n=k
6、+1时命题成立。(3)根据(1) 、(2) 当k大于等于零 且 时 ,即p(n)正确。运用数学归纳法证题时, 以上三个步骤缺一不可, 步骤(1)时 正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤(2)反应了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,若只有步骤(1), 而无步骤(2),只是证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法,若只有步骤(2),而没有步骤1,那么假设n=k成立,就时没有根据的,缺少递推的基础,也无法进行递推,有了步骤(1)和步骤(2)使递推成为了可能,步骤(3)是将步骤(1)步骤(2)结合完成数学归纳法中递推的全过程,因此三个步骤缺一不可。3 易错分析刚刚接触数学归纳法时容易出现对
7、步骤把握不清的现象，下面针对几种常见错误进行分析3.1 弄不清到时的式子变化 例1 用数学归纳法证明: ,从“”到“”左端需增乘的代数式为： A . B. C. D.错误解法：时，式子左端为，时，式子左端为 故选B。分析：时，左端第一个因式也有所变化，不能简单地看后面的因式。正确解法：当时，左端为为从到连续整数的乘积。3.2 运用数学归纳法时忽略了时的假设条件。例2 用数学归纳法证明：时， 错误解法： (1)当n=1时，左边=， 右边=,等式成立。(2)假设，时，等式成立。即 则当时，3=所以时，等式成立综上所述 当时，成立分析：在证明等式成立时，没有用到归纳假设正确解法：(1)当时，左边=右
8、边，等式成立。 (2)假设，时，等式成立，=所以时，等式也成立综上所述，对一切，都成立。数学归纳法要运用“归纳假设”，没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法。4 运用数学归纳法的典型例题例3 用数学归纳法证明：=，分析：本题第一步的验证要取，在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式证明：(1)当时，右边=左边，等式成立(2)假设当时，等式成立，就是=.=4点评：本题在第(2)步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即1=。因此在用数学归纳法证明三角命题时，应针对时命题的特征，合理地选择和使用三角公式。证明三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式及三角的变换法.例4 求证:
9、 证明:(1)当n=1时,等式左边= 右边= ,等式成立. (2) 假设时等式成立,即成立，由(1)和(2)可知等式均成立。5 中学数学中关于数学归纳法的用途数学归纳法在讨论涉及正数无限性的问题时是一种非常重要的方法,在中学数学着中它的地位和作用可以从三个方面来看:(1)中学数学中的许多重要结论,如等差数列、等比数列的的通项公式与前n项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明. 对于由完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们也常采用数学归纳法来证明它们的正确性。(2)运用数学归纳法可以证明许多数学问题.既可以开阔眼界,又可以受到推理论证的训练.对于一些用常规的分析终合法不好证明
10、的题,用数学归纳法往往会得到一些意想不到的好结果 (3) 数学归纳法在进一步学习数学时会经常用到,因此掌握这种方法可以为今后的高等数学的学习打下一个良好的基础.6 结 论数学归纳法主要是针对一些自然N的相关命题,所以在证明和自然数N有关的恒等式子中有着不可替代的作用,对于一些和自然数N有关的长式子、繁式子都有化长为短、化繁为简的功效.用数学归纳法证明数学问题时,要注意它的两个步骤缺一不可,第一步是命题递推的基础,第二步是命题递推的依据,也是证明的关键和难点,两个步骤各司其职,互相配合,同时,数学归纳法的证明步骤与格式的规范是数学归纳法的特征,如n=时的假设是第二步证明的“已知”步证明时一定要用
11、到它,否则就不是数学归纳法,证明5三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式以及三角的变换法.通过这些变换可以更容易的让命题得证.在证明时命题成立,要用到一些技巧,如:一凑假设,二凑结论,加减项、拆项、不等式的放缩、等价转化等，这些解题的技巧要在实践中不断总结和积累,，总之要记住三句话：“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写时莫忘掉”,这样我们才可以更好的运用数学归纳法.数学归纳法是一种重要的数学方法,也是中学数学的重难点之一,它在对于开阔眼界,训练推理能力等方面都有很大的帮助.在中学数学中,数学归纳法对于许多重要的结论,如等差数列、等比数列的的通项公式与前n项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明,进而可以加深对教材以及知识的理解.当然不仅在中学数学中,在进一步学习高等数学的过程中,数学归纳法也是一种不可或缺的方法【参考文献】1 华罗庚 .数学归纳法 2初等数学研究.6
