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1、1、（2011年西城一模） 23已知关于的一元二次方程 (1) 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；（3）若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值.答案：（1）解： 方程有两个不相等的实数根， 且 且 的取值范围是且 （2）证明：由求根公式 无论为何值，方程总有一个固定的根是1 （3）为整数，且方程的两个根均为正整数必为整数 或 当时 ， ；当时，；当时， ； 当时，. 或 223. （2009东城一模）（本7分）已知关于的一元二次方程（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12m40的整数，且方程有两个整数根，求的值23.（1）证
2、明： 方程有两个不相等的实数根。分（2）方程有两个整数根，必须使且m为整数又12m40， 59323（2011海淀一模）已知关于x的一元一次方程kx=x+2 的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc（c0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程的根为正整数，求整数k的值； （2）求代数式的值；（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 必有两个不相等的实数根.23.（1）解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.依题意 k-10. . 1分 方程的根为正整数，k为整数, k-1=1或k-1=2. k1= 2, k2=3. 2分 （2）解：依题意，二次函数y=ax2-
3、bx+kc的图象经过点（1，0）， 0 =a-b+kc, kc = b-a . = 3分（3）证明：方程的判别式为 =(-b)2-4ac= b2-4ac. 由a0, c0, 得ac0.( i )若ac0故=b2-4ac0此时方程有两个不等的实数根. 4分( ii ) 证法一: 若ac0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1). 5分 方程kx=x+2的根为正实数， 方程(k-1) x=2的根为正实数.由 x0, 20, 得
4、 k-10. 6分 4ac(k-1)0. (a-kc)20, =(a-kc)2+4ac(k-1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 7分证法二: 若ac0, 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点, 1=(-b)2-4akc =b2-4akc0.(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知 k-10, b2-4ac b2-4akc0. = b2-4ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 7分综上, 方程有两个不相等的实数根.423（2011昌平一模） 已知二次函数523（2009崇文一模）（本小题满分7分）已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k3)x+k3 =
5、 0有两个不相等实数根（k0）（I）用含k的式子表示方程的两实数根；（II）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k1)x+b与反比例函数y =的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式623（本小题满分7分）解：（I） kx2+（2k3)x+k3 = 0是关于x的一元二次方程 由求根公式，得 或 （II）， 而，由题意，有 解之，得 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为723（2009昌平一模）已知：关于的一元二次方程（1）若原方程有实数根，求的取值范围；（2）设原方程的两个实数根分别为，当取哪些整数时，均为整数；利用图象，估算关于的方程的解23解：（1
6、）一元二次方程有实数根，1分GF当时，一元二次方程有实数根2分（2）由求根公式，得，3分要使，均为整数，必为整数，所以，当取时，均为整数5分将，代入方程中，得设，并在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象（如图所示）6分由图象可得，关于的方程的解为，7分823（2010崇文一模）已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值23解：(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相
7、等所以，抛物线对称轴，所以，（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0因为，=16-8=80所以，方程有两个不同的实数根，分别是 ，（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为若使抛物线的图象与轴无交点，只需 无实数解即可由=0，. .而.只有，解得.抛物线的解析式为.7分12(2010西城二模)23已知：关于x的一元二次方程，其中（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，-2），且ADBD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点E（a，）、F（2a，y）、G（3a，y）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由解：（1）将原方程整理，得，=0 或2分（2）由（1）知，抛物线与轴的交点分别为（m，0）、（4,0），A在B的左侧，.A（m，0），B（4,0）.则，ADBD=10， AD2BD2=100.3分 解得.4分， .，.抛物线的解析式为.5分（3）答：存在含有、y、y，且与a无关的等式，如：（答案不唯一）.6分证明：由题意可得，.左边=.右边=4=.左边=右边.成立.7分13已知：抛物线与轴有两个不同的交点（1）求的取值范围；（2）当
