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1、运输方案问题的优化模型摘要： 本文研究运输最优化问题。运输问题(Transportation Problem)是一个典型的线性规划问题。一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调 运到若干个销地，在每个产地的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地 之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小的方案的问题。 本论文运用线性规划的数学模型来解决此运输问题中总费用最小的问题。引入 x 变量作为决策变量，建立目标函数，列出约束条件，借助 LINGO 软件进行模 型求解运算，得出其中的最优解，使得把某种产品从2个产地调运到 3个客户 的总费用最小。关键词： LINGO 软件 运输模型
2、 最优化 线性规划1 问题重述与问题分析1、1 问题重述要把一种产品从产地运到客户处,发量、收量及产地到客户的运输费单价如表1 所示。表 1 运输费用表客户1客户2客户3发量产地1104123000产地 281034000需求量200015005000这是一个供求不平衡问题，产品缺少 1500 个单位，因此决定运输方案应按下列目标满足要求：第一目标，客户 1为重要部门，需求量必须全部满足；第二目标，满足其他两个客户至少 75%的需要量；第三目标，使运费尽量少；第四目标，从产地 2到客户 1的运量至少有 1000 个单位。1、2 问题分析运输方案就是安排从两个产地向三个客户运送产品的最佳方案，目
3、标是使 运费最少。而从题目来看产品的总量只有 7000 个单位，客户的需求量却有 8500 个单位，产品明显的缺了 1500各单位，所以至少要按以下要求分配运输，首先 客户1 为重要部门，需求量必须全部满足，从产地2 到客户1 的运量至少有 1000个单位，即至少向客户 1发2000个单位，且从产地2向客户1发的要大于等于 1000 个单位；其次满足其他两个客户至少 75%的需要量，即至少得向客户 2 发 1125 个单位，至少向客户 3 发 3750 个单位。最佳的运输方案就是满足了要求 中的发量，而让运输费用最少的方案。2、模型的假设1）运输过程中道路畅通，无交通事故、交通堵塞等发生，运输
4、车行驶正常；2）从产地到客户整个路途中，所走的路程都是最短的；3）每一个产地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到各个销地；4）每一个销地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由产地满足；5）从任何一个产地到任何一个销地的物品运输成本和所运输的数量成线性比例关系；6）这个成本就等于运输的单位成本乘以运输的数量。3符号说明 A , A表示该产品的两个产地； B ,B ,B表示该产品的客户；123 a表示产地A的产量；ii b表示销地B的销量；jj c表示把物资从产地A运到销地B的单位运价；ijij x表示把物资从产地A运到销地B的运输量；ijij z 表示将物资从产地A运到销地B总费用的
5、最小值。min i j4、模型的建立与求解设计运输方案，让运输费用最少而又满足客户的需求量，要解决这个问题，我们必须针对题目中的约束条件进行分析。我们要让运输费用最少就是在满足需求的情况下把尽多的产品发给运费单价最少的客户。设c为从产地a到客户 ijiB运费的单价，x为从产地A到客户B的运输量，因此总运费为 jijij迟区exij iji=1 j=1第i个产地的运出量应小于或等于该地的生产量，即:工x aij i j=1第 j 个销地的运入量应等于该地的需求量，即： x = bij j i=1因此，运输问题的数学表达式为:min c xij iji=1 j=1s.t. 工 x 0 i = 1,
6、2,m j = 1,2,n ij称具有形如式以上式子的线性规划问题为运输问题.区a工工b即运输问题的总产量不等于总需求量，这样的运输问题称为产销不 iji=1j=1平衡的运输问题。 从题目中可以看出客户的需求量大于产量，所以属于产销不平衡的问题。由于总生产量小于总需求量,虚设产地 3,发量为 1500 个单位,到各个客户的运输单价为0。绘制虚设产地以后的产地运到客户处,发量、收量及产地到客户的运输费单价如下表所示。客户1客户2客户3发量产地1104123000产地 281034000产地 30001500需求量200015005000很明显，决策变量为产地 1，产地 2，产地 3 三个产地分别
7、向三个客户的发量。由上分析，问题的目标是运输费用最少，于是有目标函数：MinZ = 10 x + 8 x + 4 x + 10 x + 12 x + 3 x ;112112221323约束条件有两类：一类是产地的生产量限制，另一类是个客户的需求量限制。由于产地的产量总能发出并获利，产地的产量限制可以表示为：x11x21x31+ x12+ x22+ x32+ x13+ x23+ x33=300040001500考虑到个客户的需求量需求量限制可以表示为:x+ x+ x=2000112131x+ x+ x=1500122232x+ x+ x=5000132333又因为实际总产地的发量小于总客户的需求
8、量即共不应求，由题目客户 1 为重要部门，需求量必须全部满足；满足其他两个客户至少 75%的需要量；使 运费尽量少；从产地 2 到客户 1的运量至少有 1000 个单位，可知需求量的限制 可以表示为：x+ x+ x=2000112131x+ x+ x=1125122232x+ x+ x=3750132333x = 10021利用运输问题的求解方法，用LINGO软件求解，在LINGO中输入:Minz=10*x11+8*x21+4*x12+10*x22+12*x13+3*x23;x11+x21=2000;x11+x12+x13=3000;x21+x22+x23=1000;x12+x22+x32=1
9、125;x13+x23+x33=3750;x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33=8500; endgin 9运行结果为：VariableMZNZXLLX2LXL 2X2 2XLcX2cXcLXi 2XccValue 33750. ： !：. ： !：. ： c_S. ： S：-. ： ：. ： 225C-.I： ：. ：RowSJ56olack or0000000L62S. ：J. J：-：-L62S.从以上结果可以看出最少运输费用为 33750，最佳分配方案为：产地 1 向 客户 1 的发量为 1000 个单位，产地 2 向客户 1 的发量为 1000 个单
10、位，产地 1 向客户 2 的发量为 375 个单位，产地 2 向客户 2 的发量为 750 个单位，产地 1 不向客户3 发，产地 2 向客户 3 发 2250个单位。运输方案如下表所示.客户1客户2客户3发量产地 1100037503000产地 2100075022504000产地 30015001500需求量2000150050005 模型评价优点：我们通过题目要求分析出了目标函数，写出了约束条件，建立了模型，该模型建立出了较理想状态下最优分配方案，可使运费最少。缺点：该模型有一定的局限性，如现实中不能时刻都保证道路的畅通，为了更贴近实际，应考虑道路的畅通性对运输过程中的影响。 另外，模型
11、较简单可能误差较大。6、模型推广与应用在经济高速发展的今天，我们更应该做一个好的决策，找一个好的方案让 效益最好。此模型可以用于求解运输的分配方案，如自来水的运输、货物的运 输分配等。只有建立合理的分配方案，按照分陪方案去实施，才能获得最大利、人益。7、参考文献：1姜启源，谢金星，叶俊，数学模型M,北京:高等教育出版社，2003。2王向东，戎海武，文翰，数学实验M，北京:高等教育出版社，2004。3钱湔，运筹学M，北京:科学出版社，2000。4张德富，高级算法M，北京：国防大学出版社，2004。5严蔚敏，陈文博，数据结构及应用算法教程M，北京:清华大学出版社,2001。7、附录：Minz=10*x11+8*x21+4*x12+10*x22+12*x13+3*x23; x11+x21=2000;x11+x12+x13=3000;x21+x22+x23=1000;x12+x22+x32=1125;x13+x23+x33=3750;x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33=8500; endgin 9
