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1、平面几何五种模型等积，鸟头，蝶形，相似，共边1、等积模型等底等高的2个三角形面积相等2个三角形高相等，面积比=底之比2个三角形底相等，面积比=高之比夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型）等积模型是基本应用应是烂熟于心的都是利用面积公式得到的推定比例如下：1等底等高的2个平行四边形面积相等2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半32个平行四边形高相等，面积比二底之比；2个平行四边形底相等，面积比二高之比2、鸟头模型（共角定理）鸟头定理：2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做 共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两小X小夹边的乘积之比（夹角2边顽天）鸟头
2、定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转 换对应才能得到结果。 c 如图，浅紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC里面，注意，鸟头定理用的 是乘积比！不是单独的线段比.AD X AE小X小记忆上用夹角2边若玉最好记，这里等于Ae，AC鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助 线来过度连接2个看起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重 合，所以写出来，仔细看经由媒介的 ABE，联系了 ADE和大三角形 ABCBE辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得） 第二种的证明方式
3、将对顶角压回来 ABC内，对顶角性质是相等的, 所以压回来的新跟 ADE是全等，再做一条辅助线就能用共角 的方式证明出对角的鸟头定理互补角的鸟头定理证明写了这几个证明，其实说的目的只有一个：连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线，特 别重要！3蝴蝶模型任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶右下 S : S 二 S : S 或者 S X S 二 S X S1243132 AO : OC =（S + S ）:（S + S ） 1243IS1左上S4右上S1左上+S4右上二上面积上线【上下比】左下二S3右下=St左下一 S3右下二下面积 二r聚US1左上S2左下 51左上+ S2左下=左面积
4、左线匕上比】二由3二S4右上一 S3三下=右面积 二寻由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如S1左上S4右上面积交叉相乘的乘积相等五节 二S诺下 二S XS = S X S1324梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶 S1: S 3=a 2: b 2 上：下二 a 2: b2 S : S : S : S = a 2 : b 2 : ab : ab 上：下：左：右二 a 2 : b2 : ab: ab S的对应份数为（。+ b）2 a2+2ab+b2f2+b2+ab+ab有木有f4相似三角形 形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变， 他们都相似。1相似三角形的一切对应线段的长度成比例，
5、并且=它们的相似比2相似三角形的面积比=相似比的平方3连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半 就是三角形任2边中点连出来的中位线就是第三边长的一半！ 出题几率：多产生于2条平行线造成的相似三角形金字塔模型沙漏模型AD AE _ DE afAB AC BC SA ADE : SA ABC=AF2 : AG2特别注意！相似三角形的面积比是等于相似比的平方5共边定理燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理共边定理说明图_A图二BB如图一想知道 PAB和 QAB的面积比？我们就如图二做个高，因为同底（就是共用一个边）所以面积比=高之比，再想办法偷懒，延
6、长PQ、AB的线相交于M，那么刚学的相似三角形可以派上用场，因为 PDM QEM如图三P图三QABEDQAB EDPD PM所以共边定理：若直线AB和PQ相交于点M（4种情况）则有S PAB图三图四A最常应用到的其实是图一，无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边 2方的不同三角形面积比来比出线段比。（图形不重叠） 图二的比例图形有重叠，所以线段长度也是重叠比图三就是“燕尾定理”图形不重叠，所以线段比不重叠。图四是四边形，做比的三角形有重叠，而比值是四边形的顶：延长线 段QM（切记，唯一对比线段不在图形内的哈）共边定理的证明MADE N1,M点是PQ和AB延长后的交点2,取N,使得MN长度小日S PAB s PNM3、S =k=S QNM PNM和 QNM是等高，塞瓦定理（燕尾定理模型补充）三边比例互乘为1在ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于E、F、D,则得出I BE CF AD甘x TTX切=1特殊题：参考共边定理2图（重叠）可得三角形一边上之点到三边线交点O的长度：同边线全长的比值，3边比值相加二1巨+匹+匹一EAFE二1
