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1、第十一章达朗贝尔原理G11.1质点的达朗贝尔原理F + N = ma:.F + N + G = 0令 G = -ma在质点上除了作用有真实的主动力和约束反力外，再假想地加上惯性力，则 这些力在形式上组成一组平衡力系，称质点的达朗贝尔原理。11.2质点系的达朗贝尔原理、运动刚体惯性力系的简化一、质点系的达朗贝尔原理设质点系由几个质点组成，其中一质点Mj，其质量为m作用其上的主动 力孔 约束反力风，加速度为在该质点上加上惯性力为G.贝U： F + N + G = 0对每一个质点进行同样处理，根据加减平衡力系定理，则质点系上所有的主 动力系，约束反力系，惯性力系组成了一组平衡力系。根据静力系平衡的条
2、件：R=0 Mo=0 (主矩、主矢皆为零)F +N. +ZG. = 0YM (F ) + EM (N ) + ZM (G ) = 0o Io Io I质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动时，作用于该质点系上的主动力系、 约束反力系和惯性力系形式上构成一组平衡系。投影方程：EX = 0YY = 0EZ = 0YM = 0YM = 0 YM = 0二、运动刚体惯性力系的简化利用达朗贝尔原理求解刚体动力学问题，需对刚体内每个质点加上它的惯性 力，这些惯性力组成一组平面惯性力系，这就需要将惯性力系进行简化，求得惯 性力系的主矢和对简化中心的主矩，并且在解题过程中，直接将惯性力的主矢主 矩加到运动刚体上即
3、可：（一）平动刚体惯性力系的简化平动刚体a =a =ai n cGi=-miai刚体内各点的惯性力组成一组平行力系，将该惯性力系向质心c简化：G = G = ma =- MaM =zM（G） = lr X（ma） = rm xaci iii ii i c= Mr X ar = 0. M = 0结论：刚体作平动时，惯性力系简化结果为通过质心c的主矢GG = MaC（二）定轴转动刚体惯性力系的简化条件：定轴转动刚体，均质，具有与转轴互相垂直的对称平面。首先将空间 的惯性力系向对称平面进行简化得到一组平面惯性力系，再将此平面惯性力系向 转轴z与对称平面相交点O进行简化。d 2 r刚体上一点 M:质量
4、 m.， a. = d = an + atG = EG = -m adr 2=Em i质心坐标公式,i dt2M = Em rdr2dr2M = Em i- dt2i dt 2dr 2Ma = Em G=-Mac(通过c点)M =EM (G.) = EM (Gt) + EM (Gn)EM （Gn） = 0EM （G） = 一m g = -J a:.M0（G）= -J a（作用于刚体上）结论:刚体绕定轴转动时，其惯性力系的简化，为通过O点的主矢G=-Mac、 主矩Mo=-Jza方向与角加速度方向相反。分析：1）G=-Mac 大小是质量与质心加速度的乘积，方向与气相反，但作用点是O点，（虚加在O上
5、）2）Mo=-Jza又称惯性力矩，方向与角加速度相反，虚加在刚体上。（三）平面运动刚体惯性力系的简化条件：刚体具有质量对称平面，且刚体平行于此平面运动，则惯性力系简化 在对称平面内的平面力系。设质心C的加速度为ac，刚体上任一点Mj，质量为m加速度为，以c 为基点：a.=ac+a： + a：在M.上虚加上惯性力：G.e=-m.ac牵连惯性力GI =-m a t相对（切向）惯性力iri irGn =-m a n相对（法向）惯性力iri ir对刚体上每一个质点作同样处理，发现：1）牵连惯性力组成一个同向的平行力系，向质心c简化G=-Z m.ac=-Mac（通过质心 c）2）相对法线方向惯性力Gn等
6、值反向，G广0相对切线方向惯性力G t等值反向平行 EG厂03） EM （G. ） = 0EM （Gn） = 04）EM （Gt） = Em ra r = -Em r -a=-Jc.a.*.M =-Jc.a结论：作平面运动的刚体其惯性力系向质心简化的主矢为G=-Mac 虚加 在质心c上 主矩为Mc=-Jca方向与a相反，虚加在刚体上 运用达朗贝尔原理解题方法与要点：1）运用达朗贝尔原理列出的形式上的平衡方程（动静方程）与动力学中动量、动量矩定理在数学上是等价的。2）动静法主要解决非撞击的动力学问题，可采用静力平衡的方法与技巧，优于动力学基本定理。3）关键：正确加惯性力，取决于加速度的分析在平面
7、运动中，加速度ac用基点法。例 1：如图如示，均质杆长】，质量为m，A为光滑固定铰支座，B。为绳索,4。当杆运动到。=30时，A的约束反力。求：绳索突然断开时，支座A的约束反力。解：1）当绳索断的瞬时，杆绕A作定轴转动3 =0 受力分析，加惯性力G =虬=即J =ml2A 4812 a = g7lEX = 0Y = 0X = 0Y + G - mg = 0YA = 4 mg（方向向上）2）当均质杆运动到。=30时，此瞬时杆的角速度为3，角加速度为aT1 = 0T = 1J 222 AW = mgl 8 T2 - T1 = W1.Zml2 . w2 = 1 mgl2 488ccG。= ma4Gn
8、=lm.埋=3 mg47l 7EX = 0EM a = 0mg 4 Cos 30。- J a = 06 3 g a =7 lXA + GnCos30 + G。Sin30。= 090mg28（负号表示方向向左）EY = 0YA - GnSin30。+ G。Cos30。= 0L 28 mg（负号表示方向向下）对杆进行受力分析，虚加惯性力分析：此题属于非稳态问题1）初瞬时3 =0、a = a。，直接加上惯性力求解2）任意瞬时，选用动能定理求出3，a，再加惯性力，利用达朗贝尔原理求解例2：如图所示，一均质杆，质量为m,长为1,由铅垂位置无初度倒下，求。=90时杆上离O点为-的A处截面的内力。3解：设e =90时杆的角速度及角加速度为3、1）取杆作为研究对象T = 01T = 1 J 2W = mg（ - cos 0）2 23mg2 =ldT _ dWdt dt1 J 2 0 d2 。 dtd=adt以3g1 d02 mg sin 0 日d0 dt2）取A截面的右部分研究a。canc2=l以g32=l - 2 2 g3.12,2,、=J 以12 - 3m（31）2以17mglcf2=3 mg厂 4Gn = mgc 3272lEX = 0N + Gn = 0N = -4 mgc3EY = 0Q - G+ 3mg = 0Q = 0EM = 0 M a - J 以=0 M = g mgl
