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1、第二讲 函数及其性质知识要点一：函数及其相关概念（1）函数：设集合是一个非空数集，对中的任意数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数，记作：这里叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。（2）函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。（3）区间：定 义名 称符 号闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间闭区间是包括端点，开区间不包括端点。实数集可以表示为，“”读作“无穷大”，例如：“”可以表示为，
2、“”可以表示为。高考要求：理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。例题讲解：夯实基础1、已知求。2、求下列函数的定义域。1） 2） 3）3、求函数解析式：1）已知求。 2）已知，求。3）已知是二次函数，且满足求4）若函数满足方程为常数，且，求。注意：求函数的解析式大致有如下几种方法：拼凑法；换元法；待定系数法；解析法。注意因题型而选择方法。小结：求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种方法：一次函数、二次函数的定义域是全体实数；函数表达式形式是分式的，分母不为0；函数表达式形式是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如
3、果开奇次方根，被开方式可以取全体实数；零指数幂与分数指数幂的底数不能为零；在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域；多个限制条件取交集。4、求下列函数的值域1） 2） 3） 4）注意：函数的值域一定是在其定义域下控制的值域，随着所给函数定义域的不同，相同表达式的函数的值域也互不相同。在今后我们将会学习更多的新的函数和相关性质，也会对其定义域和值域在进一步探讨。知识要点二：函数性质函数的单调性：定义：一般地，设的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；区间称为单调递增区间。如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时
4、，都有，那么就说函数在区间上是减函数；区间称为单调递减区间。复合函数的单调性：同增异减函数的奇偶性设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则这个函数叫奇函数。（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出）设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，若，则这个函数叫偶函数。从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当在其定义域内时，也应在其定义域内有意义。图像特征如果一个函数是奇函数这个函数的图象关于坐标原点对称。如果一个函数是偶函数这个函数的图象关于轴对称。复合函数的奇偶性：同偶异奇。高考要求：掌握函数的单
5、调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。命题趋向：这一部分历来是考试重点，在函数的对应法则、定义域、值域，判断函数的单调性，奇、偶性考查较多，而且对这部分知识的考查有深度有力度，在客观题中主要考查一、两个性质，解答题中的综合运用往往是学生解题能力的体现，在这里也容易拉开学生的档次。例题讲解： 夯实基础一、判断下列函数的单调性。1） 2）当3）在（）二、判断下列函数的奇、偶性。1） 奇函数2） 3）既是奇函数，又是偶函数.4） 5）结论：函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。三、已知是奇函数，当时，求当时，得解析式。解：设，则当时，是奇函数，为所求时的解析式。能力提升一、已知函数，若为奇函数，求实数的取值。解：首先考虑定义域，知，由奇函数的定义建立等式求解计算起来就比较麻烦，我们还知道已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出，易得。二、已知是偶函数，是奇函数，且，试求的表达式。解：令的取得 是偶函数，是奇函数， 两式相加得 两式相减得三、设的定义域是，对于任意都有时，讨论的奇、偶性并加以证明；在上的单调性并加以证明。求在上的最值。解：在定义域任取，且那么令
