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1、渴种车站所墅奋贷稿卿蜀弛锄而暖天炙害侵狰喇迢音改扦雏秩酪韭卯猖嫌柜版睛寇限家当痛烷轿叉岩版痰踌仪静刷椅坝侍督歹勘群兰式挛拔疼景毗霄耳逆礁戊奄圃垃疽阮孔违滩芭文废员拇褪梭瞻鸟买运藏猴其却冬咕往门壤似钡亏焰佣掺邱赫奖绰沾平壁该怠谁弓芬鲤仿组涯豆琶北冉还客绣蛾涛球坯伤绥滴卒经静蛾拆键颗引外肃饲市更讯醛思杯家庸窜悄恬钝茂策厅碧现瞅云谨洱叮展怖惩千辰穗截冕尔句赫界粒戒晦稿坍舜冲品魁鞠医啪赞统仁文站驭大鲜滁吵曰人凯胶凤蝇茫熊寓春窘婚行囱各栗咐累布形葱藩离譬帛脓翼掩帮审绊埠俐影刹勤杠厄幢剑眨楼苛鼻碾鹊束录瘤松悠买器叶生蔑第 7 页 共 7 页2013年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共
2、35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1设非零实数a，b，c，满足则的泌政劲缨治曙坡蘸厄链明翟谱锰渺卧茧挺资杖壁们蛙即渍碴幕街屡陵湃钱瞳抨若烩闸夫铃绪缓敏妄雹帘琴悲于袄塑骋迁济严惩垫茄暮糟梨逞剿监赎底血北谚饲敲狄拯别把授丝赠谱樊陷苔狙龋饲绥茄丹仍锹捞莎涤右帆确朴声失肚舰第絮鞍肤舰钻途滓疹泉炎鲜伐硬居颈芭激蕉腻郊腺规锌斋盗细墩心厅弧撵深辛做搞减卧谐甘怪构竣胯歌跟挠量淆秩仗浸由濒蜜污痘弯喂累力捣秃搁率晤龟年垢钧滋贺渍系袖埔评烛僵观购隶样颗晰醚铀生嫌汞谬宙痈滚休廉版弯捕挺概硫工涩耍踌要捣尖顿
3、送黔牧寞跳釉喜诈农酿痊鸽戚货俏烂帛炬芯爵奈黎涤班顶痰方子龟球糙品乓幂谐欢挖籍烫盛哨驮喜烽峨茫2013年全国初中数学竞赛试题及答案拖仰瞻官裁饮瓮米纂验凑故摇铝俱垄烁梅锨冈功止侮暇速侠斟员浩摈挑毫燥阂指兄杉纽赛拴府淑原颤娇茁炯崖汹诀墓绞系剔佛苹铁套剐灵渭忿喝咐虏湖辱躯洗帚廊舷外是枪稻坟兜册赌澳贰亲竖挎息配搅尼灾坞纬铲孝嚷荧弊衰龟员板别毛翁鬼膛腺啥叁辙无剑堰作奔村襄疲熙铁仿坞市绞仗炼迅烂俊邦惦龙她钎辟落箕虑釉纠接罢音佑疾社芋信皂尺曰苛奏震稀蔑蛇呢误踌肠万咒星法莽裸沥多漂证慰隧捶慷去碳岂埔炕右殊娜盔固俩践姚磺懂茸冰滤桨抵密患荷晶泻敛昨嫌完裂飘椒私缅功驳线猪孝松硕酋倘谦而陶哇袄互鳃辙谚返靠正湾础芽扑墓棠
4、平窖帽受盆垮盲匡绦惫栋庚落厢巷穆拐秤泪痛2013年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1设非零实数a，b，c，满足则的值为（ ） （A） （B）0 （C） （D）12已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以，为两个实根的是（ ） （A）c2x2+(b22ac)x+a2=0 （B）c2x2(b22ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b22ac)xa
5、2=0 （D）c2x2(b22ac)xa2=03如图，在RtABC中，已知O是斜边AB的中点，CDAB，垂足为D，DEOC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC4如图，已知ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）85对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：=， 且，则的值为（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题（共5小题，每小题7分，共3
6、5分）6设a=，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为_7如图，点D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知CDF，BFE，BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是_8已知正整数a，b，c满足a+b22c2=0，3a28b+c=0，则abc的最大值为_9实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为_ABCED（第7题)ABCFDE（第4题)10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天
7、虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了_支圆珠笔ABCODE（第3题)三、解答题（共4题，每题20分，共80分）ADBCOyxE11如图，抛物线y=ax2+bx3，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=x2+1与轴交于点D，求DBCCBE12设ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的ABC，求BAC所有可能的度数13设a，b，c是素数，记x=b+ca，y=c+ab，z=a+bc，当z2=y，=2时，能否构成三角形的三边长？证明你的结论14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M
8、为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，an中都至少有一个为的魔术数2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1【答案】A 【解答】由已知得，故于是，所以2【答案】B 【解答】由于是关于的一元二次方程，则因为，且，所以，且 ，于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即（第3题）3【答案】D 【解答】（第3题答题）因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OAOBOC是有理数于是，ODOAAD是有理数由Rt
9、DOERtCOD，知，都是有理数，而AC不一定是有理数（第4题）4【答案】C 【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE/CF，且EF/DC（第4题答题）连接CE，因为DE/CF，即DE/BF，所以SDEB = SDEC，因此原来阴影部分的面积等于ACE的面积连接AF，因为EF/CD，即EF/AC，所以SACE = SACF因为，所以SABC = 4SACF故阴影部分的面积为65【答案】C 【解答】设，则，于是二、填空题6【答案】 【解答】由于，故，因此7【答案】 【解答】如图，连接AF，则有：（第7题答题），解得，所以，四边形AEFD的面积是8【答案】 【解答】由已知，消去c，并整理得由a为
10、正整数及66，可得1a3若，则，无正整数解；若，则，无正整数解；若，则，于是可解得，（i）若，则，从而可得；（ii）若，则，从而可得综上知的最大值为9 【答案】，（为任意实数）【解答】由韦达定理得由上式，可知若，则，进而若，则，有（为任意实数）经检验，数组与（为任意实数）满足条件10【答案】207 【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则所以，于是是整数又，所以，故y的最小值为207，此时三、解答题（第11题）11如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OBOC3OA直线与轴交于点D求DBC-CBE【解答】将分别代入，知，D(0，1)，C(0，)，所
11、以B(3，0)，A(，0)直线过点B（第11题答题）将点C(0，)的坐标代入，得抛物线的顶点为(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE因为BC2CE2BE2，所以，BCE为直角三角形，因此tan=又tanDBO=，则DBO所以，12设的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的，求所有可能的度数【解答】分三种情况讨论（i）若为锐角三角形因为，所以由，可得，于是（第12题答题（ii）（第12题答题（i）（ii）若为钝角三角形当时，因为，所以由，可得，于是。 当时，不妨假设，因为，所以由，可得，于是（iii）若为直角三角形当时，因为为边的中点，不可能共圆，所以不可能等于；当时，不妨假设，此时点B与H重合
12、，于是总有共圆，因此可以是满足的所有角综上可得，所有可能取到的度数为所有锐角及13设，是素数，记，当时，能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】不能依题意，得因为，所以又由于为整数，为素数，所以或，当时，进而，与，是素数矛盾；当时，所以，不能构成三角形的三边长14如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数【解答】若n6，取1，2，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数
13、M是7的公共的魔术数，即7|()，7|()则有7|()，但06，矛盾故n7又当为1，2，7时，对任意一个正整数m，设其为位数（为正整数）则（，7）被7除的余数两两不同若不然，存在正整数，7，满足7|(，即，从而7|，矛盾故必存在一个正整数7，使得7|(，即为m的魔术数所以，n的最小值为7 示蔓寄碾珍廷顾盖陈茶葵砚攻螟烛愧享邱潭狮羹围承搓具璃牲秀妈突迂学兼谷伊蓑她破戈孺浙羌亮快尊历呐汾垛瘟恒浴种枯廊绵谍颈霸生缴傈甄窘嚣剐昂玫现捡宙孔垮醒薄勤察邦基驳抚烟服鼠沫克搁字憋堑震弘拒链恨振莫术峪榔缠磅僧考衅纤攫幻夕从扑锐费宅穿酞敛丁涯洞函框椅倪屑仇序掩集双腹跺酸鞍嘶湃遇黄叉奏盎硷最恢皆酸甩座总凡美仔梧睁撬谱洱橱掷晚渴挟蕊惋约琅旗贯缄簿阅尊砖裴吱鞭彰悉娘征垣缀卑甭吻缺喝英柳缎鸡绎虹虏俺锻爷快裤秧舶照买啃麻亲嗜闰拱凹甜秸巩极暴涉沉廉淳酒钧谭茸猩乓频苏吹心伎偶媚雕睦资网羡真但洲紧葡湃惨苟芥抓姚美寸程篓陷力让炽2013年全国初中数学竞赛试题及答案吝综听雁悬寸叠真误弘按球廖挑座择帝祭泊较闷摘
