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1、第四章 光的衍射 4.1惠更斯 菲涅耳原理一光的衍射现象波绕过障碍物继续传播，也称绕射。次波光波在空间传播，是振动的传播，波在空间各处都引起振动，波场中任一点，即波前中任 一点都可视为新的振动中心，这些振动中心发出的光波，称为次波。次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，由此使得光波不断向前传播。新的波面即 是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。用次波的模型可以很容易解释光的衍射现象。 波前上任一点都是一个次波中心，即一个点光源，发出球面波，两个点，即使是邻近的， 发出的次波也是不同的。严格地说，是没有“光线”或“光束”之类的概念的。三次波的叠加惠更斯菲涅耳原理1次波的相干叠加考察波前上
2、任一面元上的一点Q,即一个次波中心所发出的球面次波在场点P处引起的复振 幅微分元 dU(P) 。dU(P) x U (Q)，Q点的复振幅，称为瞳函数；0e ikrdU(P) x -，Q点为点光源，发出球面次波;rdU (P) x dE，次波中心面元面积；dU(P) x F(0 ,0)，0、0分别是源点和场点相对于次波面元dZ的方位角。0 :面元法0 0 000r将波前上所有次波中心发出的次波在P点的振动相干叠加，即得到该波前发出的次波传播到 P点时所引起的合振动，即该波前发出的次波在P点引起的振动。这就是惠更斯一菲涅耳原理。2菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式如果取一个封闭的空间曲面丫，即一个封闭的波
3、前，由于从光源发出的所有方向的波都将 通过此波前，而且只通过此波前一次，所以光源在任一场点P所引起的复振幅与该波前所发出的 全部次波在该点所引起的复振幅等价。由于波前是一连续分布的曲面，所有次波中心发出的次 波在P点的复振幅就是以下曲面积分ikrU (P) = K 彷 U (Q) F (0 , 0 ) d Z，即-( x - x)2+(y-y)2+(z - z)20 0 rU (x, y) = K JP1 U (xy) F (0 , 0 )dx dy此即为 Fresnel00-i(X - X)2 + (y - y)2 + (z - z)2(菲涅耳)衍射积分公式。经过Kirchhoff (基尔霍
4、夫，1882年)严格的数学论证，Fresne 1根据直观所建立的积分公式 基本上是正确的。需要修正的只是，波前可以为任意形状的封闭曲面，而且导出了几分公式中的比例常数和倾斜因子的表达式，其中i e-汛门小小1小小K = - =F (0 ,0 ) = (cos 0 + cos 0 )九 九,020。比例常数中的位相因子不为0,而是有一个兀/2的位相超前，说明等效次波源的位相不等 于波前上Q点扰动的位相。而倾斜因子的表达式说明向后倒退的波也对P点的复振幅产生作用， 只有在波前取为球面的情况下，0 = 0， F (0 , 0 )=丄(1 + cos 0 )，此时0=兀，才有 0 0 2F(0 ,0)
5、= 0。0经过Kirchhoff修正的上述积分公式被称作F resnel-Kirchhoff衍射积分公式。处理光的衍射问 题，都可以归结为求解F resnel-Kirchhoff衍射积分公式。当波场中有障碍物时，即衍射屏时，可以自然地将波前取在衍射屏的位置，此时封闭的空 间曲面由三部分构成：衍射屏上的透光部分Z，不透光的光屏部分工，以及在空间扩展的半 01个曲面L。可以忽略Z与工的相互影响，认为在透光部分的瞳函数U (Q)取作自由传播时的2 0 1 0数值，而不透光部分的瞳函数U (Q)自然等于0。相对于光的波长，衍射屏的不透光部分也是 0认为是无限大的，所以第三部分可以取一个半径无穷大的半球
6、面，经过严格的数学证明，积分 公式在该球面上的积分值等于0,不必考虑。则在求解Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式时，只需 要对衍射屏的光孔部分作积分就可以了，即将曲面积分的范围局限于光孔S即可。这种做法， 0称作Kirchhoff边界条件。积分公式可以化为- i e ikrU (P) = H (cos 0 + cos 0 )U (Q)dZ2 九00 r在特定的实验0条件下，应用近轴条件和远场条件，积分公式可以得到简化，并给出和好的 结果。四衍射的分类根据衍射障碍物(衍射屏)到光源和接收屏的距离分类。距离有限的，或至少一个是有限的，为菲涅耳衍射。此时在接收屏上的任一点，来自不同 方向
7、的波进行相干叠加。距离无限的，即平行光入射、出射，为夫琅和费衍射。此时相互平行的光在无穷远处相干叠加。事实上，在衍射屏后置一凸透镜，相互平行的光会聚在透镜焦平面上的同一点，进行相干叠加。衍射屏接收屏Fresnel1 :衍身寸平行光几射 4.2 菲涅耳衍射（圆孔、圆屏）一衍射现象圆孔衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心明暗交替变化。圆屏衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心永远是亮点。二半波带法分析菲涅耳圆孔衍射菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式化为求和近似。将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每一带的中心到P点的距离依此相差半个波长。 这些圆环带称为半波带
8、。在球面上，各次波波源初位相相等。相邻半波带发出的次波，到达P点时，光程差为半个波 长，位相差为 ，位相相反，振动方向相反，相互抵消。计算各个半波带的面积sk。球冠面积 S = 2兀Rh = 2兀R 2(1 COS 9)， dS = 2兀R 2 sin 9d9cos 9 =R 2 + (R + r )2 e2 R (R + r )0rkdr ,k当 dr = X /2 时，dS = SkSkrke ikrU (P) = K 打 U (Q) F (9 , 9 ) ds 0=K 工 U (Q F (9)e ikrSkrkS=KU -k 乙 F (9 )ei(90+n兀)k=Ai (1 + cos
9、9 )( 1)k-1k S 1=KUei90 -疔乙(1 + cos 9 )eik“ 2kr1 S 其中A = -KUeZQf，则U = A(1 + cos )(-1)-i为第k个半波带发出的次波在P点的复 2 r k kk111111=A+ ( AA + A)+ ( AA + -A ) + ( A21212 2 3234252振幅。其振幅为A = A(1 + cos )，位相因子为(-1)k-i。可见，相邻波带次波的位相相反，且kkk越大的波带，振幅越小。于是总的复振幅可表示为U( P ) = i ( - 1) k +1 Ukk =11=A + (- 1) n =1 A 21n解释：波带数n
10、为奇数，亮点；n为偶数，暗点。自由传播，n T8， A t 0， A (P) = A，始终亮点。n 2 1圆屏，前n个半波带被遮住，A(P) = Y A = A n +12 n +1半波带方程总是亮点。r 2 -r 2k0入=(r + k )2 - r 20 2 01)= r 2 -r 2 -2r h-h2 k00= kXr - 2 r h - h 2002)又 P k2 = R 2 - (R 一 h)2 = 2Rh 一 h 2 q 2Rh3)由( 2 )，( 3 )，r 2 -r 2 -2r h-h2 = k00-h2r 2 - r 2 kr可得h =厶一J =kroX，又由(2)式,2(
11、R + r )2( R + r )00p 2 q kXr - 2 r hk00kXr 2所以 p 2 = kXr 一ok0 R +r0kr R .oXR+rop 2 11k =(+)，k的奇偶性由r0决定。该式称为半波带方程。X r Roo三一般情形下的波带如果进一步将每个半波带划分为两个，则相邻波带发出的次波在P点位相差为n/2，即第一个半波带中的第一个波带和第二个波带的位相分别为n /4和3n/4；再将每一个进一步细分，第 一个半波带中的四个波带的位相差为n/4,位相依此为n /16, 5n/16, 9n/16, 13n/16, 。可以将任何一个半波带进一步细分为n个，得到更多的波带，相邻
12、波带见光程差为入/2n, 位相差为n /n0 n很大时，位相差很小，用振幅矢量法，原来的每个半波带的波矢变为由n个小 波矢组成的半圆。如图所示。四波带片用半波带将波面分割，然后只让其中的基数(或偶数)半波带透光，即制成半波带。透过 半波带的光，在场点位相相同，振动方向相同，衍射后大大增强。由于入射光是平面光，所以 波带片可是做成平面型的。一般情况下，可以认为前面几个半波带的倾斜因子相差不大，即满足近轴条件，所以他们发出的次波的振幅近似相等。如果波带片共有20个半波带，则在P点的复振幅为U( P) = A + A + A + A - 10 A , P 点光强 I (P) = 1 0 04 2 ,
13、而自由传播时1351911 1 1U (P) = 一 A，光强I (P) = 一 A 2，相差400倍。可见波带片具有使光汇聚的作用。可以将半0 2 1 0 4 1波带方程写成如下形式1 1 k 九 1C 2+ = 二，同透镜的公式。f二匕L为焦距。R rp 2 fk 九0k任一波带片，都只适用于一个波长。焦距是固定的。对平行光，波带片为平面的。 但除主焦点之外，还有许多次焦点。p21平行光入射，R “ 有k = P k 1，即在距离匚处，半径为p,的带是第k个半波带。 r0k0当波带片不变时，r0改变，会引起k的改变，即可划分的半波带数目改变。r0减小，到r0/2时，k=2k，偶数个半波带，
14、暗点；r0减小，至h/3时，k=3k,其中两两相互抵消，只剩下1/3歌半波带，是亮点，为次焦点; r0减小，至h。/4时，k=4k，暗点有f = ff,- ，一系列次焦点。3 52 m + 14.3Fraunhofer（夫琅和费）单缝衍射1 衍射装置平行光入射，用凸透镜成象于像方焦平面。相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处。即是平行光的相干叠加。如果衍射孔径，即狭缝，是一条窄反射面，情况相同。L1T ；2 衍射强度分布沿0方向的次波会聚到透镜焦平面上的P点，0就是P点对透镜中心的张角。P点相干叠加的2兀 kA L =a sin 0。九如果将狭缝等分为N分，则相邻两部分的光程差和位相差均是上述值的1/N。它们在P点 的合振动是N个等
