多项式因式分解的方法

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1、多项式因式分解的方法1引言多项式理论是高等代数的一个重要组成部分，原则上说，多项式的内容是中学代数课程中最重 要的部分中学是以多项式的具体运算为主，从基本的概念入手，通过习题来灵活掌握多项式的方 法大学将以多项式的理论为主，更侧重于一般性规律，比起初等代数更具抽象性本文通过对学习中常遇到且易出错的多项式的研究，归纳总结出一些综合性的方法将初中所学 的多项式因式分解与高等代数中所讲因式分解进行比较，找出联系，由表及里，深刻认识多项式因 式分解在数学解题中的应用2相关概念与定理定义 11(P27) 数环 R 上 的 一 个 文 字 x 的 多 项式 或 一元 多 项式 指 的 是形 式 表达 式a

2、 + a x + a x2 +. + a xn这里n是非负数，而a ,a ,a a 都是R中的数.012n012 n定义 24(P2) 因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式.定义33(p29) Fx是数域F上的一元多项式环.f (x)g(x)是Fx的两个多项式若Fx的一个多项式h(x)同时整除f (x)和g(x)，则h(x)叫做f (x)和g(x)的一个公因式.定义42(P49)设p(x)是数域P上的一个次数大于等于1的多项式，如果p(x)不能表示成数域P上两个次数比p(x)次数低的多项式的乘积，那么p(x)就称为数域P上的不可约多项式.多项式唯一因式分解定理3(P43)Fx的每

3、一个n次多项式(n大于0) f (x)都可以分解成Fx的不可约多项式的乘积，且不可约多项式的乘积的分解式是唯一的.以下几种数域经常被用到，习惯上用一些特定的字母表示，我们约定：Q 表示有理数域 R 表示实数域 C 表示复数域3因式分解的方法多项式因式分解的方法具有多样性和较强的灵活性.其中以四个基本的方法为基础：提取公因 式法、公式法、分组分解法和十字相乘法.研究多项式分解方法是建立在四种方法之上的，只有掌 握好基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大和技巧性较强的题型.在此基础上通 过讨论分析多项式的结构特点，难易程度，总结综合性的方法.对于初学者来说，能够熟练运用以 上方法即可但

4、要彻底的灵活掌握因式分解的方法，还要多做习题，掌握复杂的方法多项式的研究在不同时期有不同的侧重点初中的重点是放在因式分解的方法上；而大学更侧 重于抽象的理论，通过对理论的理解来阐释方法近几年，随着数学奥林匹克竞赛的发展，要求我 们要在掌握基础知识的同时，学会分析和总结，灵活掌握其他方法对于一些结构比较复杂，次数 比较高，系数比较大的多项式，仅以基本方法和拆添相法、配方法是无从下手的所以探讨综合性 的方法是很必要的在初中所讲因式分解时，要求分到不可再分，即在相应的一元多项式环上分解成不可约多项 式.如：x4 - 4二(x2 - 2)(x2 + 2)此式就是Qx上的因式分解.其中x2 + 2和x2

5、 - 2即为Qx上 的不可约多项式.但考虑Rx,很显然x2 -2是可约多项式，它可进一步分解为(x- u2)(x + p2), 此时x2 + 2, x - 2x +-J2都是Rx上的不可约多项式.在Cx上多项式还可进一步分解为 (x-迈i)(x + J2i)(x -迈)x +迈).所以在进行因式分解时，首先必须明确所给数域，然后在相 应数域多项式环上因式分解.下面介绍的几种方法具有很大的综合性和灵活性，需要对所学的知识 综合利用，融会贯通.3.1 主元法 在多元多项式中，选择其中某一个变元为主要元素，把其他变元看做常量，将原式重新排列.它 能使多项式的排列有序化，从而简化问题，再进行因式分解.

6、例 1 因式分解：2x3 一 x2z 一 4x2y + 2xyz + 2xy2 一 y2z.分析：此多项式比较复杂含有三个变元，以 y 作为主元，依次写出他的二次系数，一次系数和 常数项.多项式就一目了然了，然后再用其他方法进行因式分解.2 x 3 一 x 2 z 一 4 x 2 y + 2 xyz + 2 xy 2 一 y 2 z=(2x一 z)y2 + y(2xz 一4x2) + (2x3 一 x2z)=(2 x 一 z) y 2 + y (z 一 2 x)2 x + x 2 (2 x 一 z)二(2x z)(x y)23.2 利用特殊值法将2或10代入多项式x中求出数P，将数P分解质因数

7、，适当的组合，并将组合后的每一个因 数写成2或10的和与差的形式，然后将2或10还原成x的因式分解.此方法比较麻烦需要熟悉因 数分解.例 2 因式分解：x3 + 9x2 + 23x +15.分析：可令X二2代入多项式中即x3 + 9x2 + 23x +15二105.将105分解成3个质因数的积，105二3 x5 x 7 .注意到多项式中最高项的系数为1，而3,5,7分别为x +1,x + 3,x + 5，在x二2时的值，则原式可能分解为(x +1)(x + 5)(x + 3)进一步验证，可得最后结果.所以 x 3 + 9 x 2 + 23x +15 = (x +1)( x + 5)( x +

8、3)3.3 待定系数法待定系数法是数学中常用的方法，用途十分广泛.在因式分解中就是首先设出几个含有待定系 数的因式，然后根据多项式恒等和方程组来确定待定系数，从而因式分解.要求我们会熟练计算方 程组.例 3 因式分解：x3 + y3 + z3 - 3xyz.分析：因为原式为轮换对称式，其分解后的因式也必然是轮换对称式.当x = -(y + z)时，原式二0 所以原式含有(x + y + z)的因式.余下的必为2次对称式，设成m( x 2 + y 2 + z 2) + n( xy + zy + zx)所以 x3 + y3 + z3 一3xyz = (x + y + z)m(x2 + y2 + z

9、2) + n(xy + zx + yz)比较三次项系数得m = 1.又当x = 1,y = 0,z = 1时，得2 = 2(2 + n).所以n = 1.x3 + y 3 + z3 一 3xyz = (x + y + z)(x2 + y 2 + z2 一 xy 一 yz 一 xz).3.4 构造法构造法是近几年发展起来的一种解题方法，它的主要特点是“构造”，即通过构造中介性辅助元 素，沟通数学题的条件与结论或条件与问题的内在联系，使原题得以解决它的使用范围很广，是 数学解题中的一种重要方法在分解因式时，通过适当构造，可简化分解难度例 4 因式分解：x2 + 2xy 8y2 + 2x +14y

10、3.分析：x2 + 2xy 一 8 y 2 + 2x +14 y 一 3 = x2 + 2( y +1)x 一 8 y 2 +14 y 一 3.令原式=0,x + x =-2(y +1)(其中x ,x分别为关于的x方程两根)，1 2 1 2设x = 一(y +1) + k,x = 一(y +1) 一k (构造对偶式)，12又 x x = (y +1)2 一 k 2 = 一8 y 2 +14 y 一 3，12所以 k 2 = (3 y 一 2)2 得 x = 2 y - 3, x = -4 y +1，x2 + 2 xy 8 y2 + 2 x +14 y 3 = (x 2 y + 3)( x +

11、4 y 1)3.5 换元法 在对比较复杂的多项式进行因式分解时，容易造成思路混乱，若把其中某些部分看成一个整体， 用新字母代替，能使复杂问题简单化，明朗化，在减少多项式的项数，降低多项式的结构复杂程度 等方面有独到的作用这也就是换元思想在因式分解中的应用我们可以进行一元代换(包括常值 代换和式的代换)，二元代换3.5.1 常值代换例 5 因式分解：1999x2 (19992 1)x 1999 .分析：初看此题式中系数较大，感觉无从下手，但可知每个式子中都有1999，我们不妨把数用 字母表示设 1999 二 a ,则 1999x 2 (19992 1)x 1999=ax 2 一 (a 2 一 1

12、)x 一 a=ax 2 一 a 2 x + x 一 a=(x a)(ax +1)所以 1999x 2 (19992 1) x 1999 = ( x 1999)(1999x +1)3.5.2 式的代换例 6 因式分解：(2a + 5)(a2 9)(2a 一 7) - 91分析：形如abed + e的多项式，分解这类多项式时，把4个因式按最小最大，中间两两分组， 使得分组相乘后所得的因式中的相同部分设为新字母，易于分解(2a + 5)(a 2 9)(2a 7) 91=(2a + 5)(a 3)(a + 3)(2a 7) 91= (2 a 2 a 15)(2 a 2 a 21) 91设 2a2 a

13、15 = m,则原式=m(m 一 6) 一 91 = (m 一 13)(m + 7)=(2a2 a 15 13)(2a2 a 15 + 7)=(2a + 7)(a 4)(2a2 a 8).3.5.3 二元代换例 7 因式分解：xy(xy +1) + (xy + 3) 一 2(x + y + )一(x + y 一1)2-解设 xy = a, x + y = b.xy( xy +1) + (xy + 3) - 2( x + y + -) - (x + y -1)2厶=a(a +1) + (a + 3) - 2(b + ) - (b -1)2 2=a2 + a + a + 3 2b 1 b2 + 2

14、b 1=(a +1)2 - b 2=(a + b + 1)(a +1 b)二(xy + x + y +1)(xy x y +1)二(x +1)(y +1)(y -1)(x -1)我们在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能完成一个因式分解的问 题例 8 因式分解：(x 一 2)3 -(y 一 2)3 -(x 一 y)3解令 m = x - 2, n = y - 2,所以 m - n = x - y.(x-2)3 -(y-2)3 -(x-y)3=m3 - n3 - (m - n)3=(m - n)(m 2 + mn + n 2) - (m - n)3=(m-n)(m2 + mn

15、 + n2 -m2 + 2mn-n2)=3(m - n)mn= 3(x- y)(x-2)(y-2)此题是在换元的基础上,通过分组、公式、提公因式等多种方法来完成分解因式的.3.6 对称法主要谈的是对称式的性质及对称点坐标间的关系的运用.所谓关于某些字母的对称代数式,是 指把式中的字母互换,所得的代数式和原代数式恒等这类代数式,如式 ax + ay, ax2 + bxy + ay2, ax3 + bx2y + bxy2 + ay3分别称作关于x, y的一次对称多项式，二次对称 多项式，三次对称多项式.又如a(x2 + y2 + z2) + b(xy + yz + xz)称作关于x,y,z的二次对称多项 式.运用对称式的性质“几个对称式的和，差，积，商仍是对称式”做对称多项式的因式分解题较 为方便.例 9 因式分解：(a b)5 + (b C)5 +(C a )5.分析：(a - b)5 + (b - c)5 + (c - a)5为关于a,b,c的五次对称多项式，