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1、授课教案学员姓名： 学员年级： 授课教师：所授科目： 上课时间：隼 M H ()； 共课时(以上信息请老师用正楷字手写)轴对称最值问题专项提升知识点】最短路径两点之间，线段最短例：四边形ABCD中， BAD= 1200 , B= D= 900，在BC, CD上分别找一点 M , N,使 AMN周长最小，则 AMN+ ANM的度数是()A.1300B.1200C.1100D.1000例：如图，P, Q分别为 ABC的边AB, AC上的定点，在BC上求作一点M,使 PQM周长最小。解答题(共6小题)1 .已知：如图所示，M (3, 2) , N (1, - 1).点P在y轴上使PM+PN 最短，求
2、P点坐标.M、N,请在BC边上找一点P,使得 PMN的周长最短.保留2 .如图， ABCW边AB、AC上分别有定点作图痕迹）3 .如图 ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使 DPQ的周长最小？并求出这个最值4.如图，/ AOB=30,/ PAO&定点 P,且OP=10, OA上有一点 Q, OB上有一定点 R.若 PQR周长最小，求它的最小值.5.如图，已知A、B是锐角a的OM边上的两个定点P在ON边上运动.问P点在什么位置时PA2+PB2 的值最小？6 .如图，两个生物制药厂 A与B座落于运河河岸的同一侧.工厂
3、A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米.现要在运河的工厂一侧造一点C,在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小.如图建立直角坐标系.0 a 2)求C点设在何处时(1)如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米(a为一个给定的数线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式.,并求其最小值(2)在0w aw范围内，a取何值时直线输送带总长最小2014年09月09日752444625的初中数学组卷参考答案与试题解析.解答题(共6小题)1 .已知：如图所示，M (3, 2) , N (1, - 1).点P在y轴上使PM+PN 最短，
4、求P点坐标.0考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质.专题：数形结合.分析：找出点N关于y轴的对称点，连接M与对称点，与y轴的交点为P点，根据两点之间，线段最短得到 此时点P在y轴上，且能使PM+PN最短.根据关于y轴对称点的特点，找出N对称点的坐标，设出直 线MP的方程，把N的对称点的坐标和 M的坐标代入即可确定出直线 MP的方程，然后令x=0求出直 线与y轴的交点，写出交点坐标即为点 P的坐标.解答：解：根据题意画出图形，找出点N关于y轴的对称点N,连接MN,与y轴交点为所求的点 P,. N 1, -1), N1, -1),设直线MN的解析式为y=kx+b，把M (3, 2) , N3
5、1, - 1)代入得： f 3k+b=2 k+b =-1，解得所以y=4令x=0 ,求得y=-则点p坐标为（0,口评：此题考查了对称的性质，以及利用待定系数法求一次函数的解析式利用对称的方法找出线段之和的最小值的步骤为1、找出其中一个定点关于已知直线的对应点2、连接对应点与另一个定点，求出与已知直线交点的坐标；3、根据两点之间，线段最短可知求出的交点坐标即为满足题意的点的坐标2 .如图， ABCW边AB、AC上分别有定点 M、N,请在BC边上找一点P,使得 PMN的周长最短.（写考点：轴对称-最短路线问题专题：作图题.分析：作点N关于BC的对称点N,连接MN交BC于点P,由两点之间线段最短可知
6、 P点即为所求点解答：解：作点N关于BC的对称点N,连接MN交BC于点P,由对称的性质可知 PN=PN，故PN+PM=MN,由两点之间线段最短可知 ， PMN的最短周长即为 MN +MN.口评：本题考查的是最短线路问题，根据两点之间线段最短的知识作出N的对称点是解答此题的关键P、3 .如图 ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当Q的位置在何处时，才能使!) PQ的周长最小？并求出这个最值考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质.专题：几何图形问题.分析：作出D关于BC、AC的对称点D、D,连接DD，DQ , DP,根据轴对称的性质将三角形
7、的周长最值问题转化为两点之间线段最短的问题，利用等边三角形的性质和三角函数即可解答.解答：解：作D关于BC、AC的对称点D、D,连接DD，DQ, DP. DQ=DQ DP=DP , . DPQ勺周长为 PQ+DQ+DP=PQ+DQ+DP=DD,根据两点之间线段最短，DD的长即为三角形周长的最小值. Z A=Z B=60 , / BED= / AFD=90 ./a=Z 3 -=690 =30 ,/ DDD=180 -30 - 30 =120 , D为AB的中点，DF=AD?cos30虫走, AF旦2 22易得 ADFA QDF ,QF=AF, 2AQ=1 , BP=1 ,Q、P为AC、BC的中点
8、.DD=X 2=/3,2同理，DD= X 2=/l,2 . DDD为直角三角形，此题考查了轴对称-最短路径问题，涉及正三角形的性质、三角函数、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质和判定等知识，有一定难度4.如图，/ AOB=30 , / PAO&定点 P,且OP=10, OA上有一点 Q, OB上有一定点 R.若 PQR周长最小，求它的最小值O R 5考点：轴对称-最短路线问题.专题：计算题.分析：先画出图形，作PM OA与OA相交于M ,并将PM延长一倍到 E,即ME=PM .作PN，OB与OB相 交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN .连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接P
9、Q, PR,则 PQR即为周长最短的三角形.再根据线段垂直平分线的性质得出 PQR=EF ,再根据三角形各角之间的关系判断出 EOF的形状即可求解.解答：解：设/ POA=。，则/ POB=30二。，作PM OA与OA相交于M ,并将PM延长一倍到 E,即 ME=PM .作PN, OB与OB相交于N ,并将PN延长一倍到 F,即NF=PN .连接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再连接PQ, PR,则4 PQR即为周长最短的三角形. .OA是PE的垂直平分线，EQ=QP;同理，OB是PF的垂直平分线，FR=RP , . PQ的周 =EF. OE=OF=OP=10，且/ EOF= Z EOP+
10、Z POF=2 0 +2(30) =60 , . EO是正三角形，EF=10即在保持OP=10的条件下 PQR的最小周长为10.故答案为：10.点评：本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点周长的问题转化为求线段的长解答.即把求三角形5.如图，已知A、B是锐角”的OM边上的两个定点，P在ON边上运动.问P点在什么位置时值最小？,PA2+PB2 的考点：轴对称-最短路线问题.专题：动点型；探究型；存在型.分析：由余弦定理，可得二次函数，然后可求最值.解答：解：设 OA=a , OB=b , OP=x ,pA=a2+x2 - 2axcos a pB2=b 2+x
11、2 - 2bxcos a ,P2+PB2=a 2+x2 2axcos a +x 2 - 2bxcos a =2x 2 (a+b) cos a x+ab 2, 当x=反乎cos4寸，PA2+PB2的值最小.点评：本题考查的是最短路线问题，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键6 .如图，两个生物制药厂 A与B座落于运河河岸的同一侧.工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小.如图建立直角坐标系（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，个工厂的距离为6千米.现要在运河的工厂一侧造一点C,在C处拟设立一个货物运输中转站，并建
12、设直线输送0 a 2）求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式.（2）在0w aw范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值考点：轴对称-最短路线问题；直角梯形.专题：探究型.分析：（1）过B作直线BEy轴于E点，再根据所建直角坐标系及 A和B距离河岸l分别为4千米和2千米求出A、B两点的坐标，再用a表示出B点的坐标，再用两点间的距离公式即可求解；（2）根据（1）中S的表达式及a的取值范围进行解答即可.解答：解：（1）如图所示：过B作直线BE，y轴于E点，A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，AB=6千米，AE=4- 2=2 千米,BE=2 -皿2T6? - /=殍，A 0, 4）、B （V32, 2）,过点B作关于直线11的对称点B,则BF=B F=2a, 威的坐标为（V无，-2+2a ）, S=AB 椒+口4（ . Sj 2.8；（2）由（1）可知，S=2j （旷 3 j 2+8,0 a 2, 当a=2时S有最小值，则S=2，用=6 （千米）.故答案为：q疝- 3）2+平6千米.点评：本题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，分别求出A、B、B三点的坐标是解答此题的关键
