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1、word第一章 复述和复变函数1.5连续 假如函数在的领域内包括本身已经单值确定，并且，如此称f(z)在点连续。假如函数在一点的导数存在，如此称函数在该点可导。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件(i)、在点不仅存在而且连续。(ii)C-R条件在该点成立。C-R条件为假如函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，如此称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点z的领域内(i)、存在。(ii)C-R条件在该点成立。解析的充分条件：函数f(z)=u+iv在领域内(i)、不仅存在而且连续。(ii)C-R条件在该点成立。拉普拉斯方程的解都是调和函数：+=
2、0由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足CR条件。当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过CR条件列微分方程第二章 复变函数的积分柯西定理：假如函数f(z)在单连区域D内是解析的，如此对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A与B的那些曲线来讲，积分的值均相等。柯西定理推论：假如函数f(z)在单连区域D内解析，如此它沿D内任一围线的积分都等于零。二连区域的柯西定理：假如f(z)在二连区域D解析，边界连续，如此f(z)沿外境界限(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界
3、限(逆时针方向)的积分。n+1连区域柯西定理：推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。假如f(z)在单连有界区域D内解析，在闭区域D的边界连续，如此对于区域D的任何一个内点a，有其中是境界限。第三章 级数外尔斯特拉斯定理：如果级数在境界上一致收敛，那么(i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z)(ii)由它们的m阶导数组成的级数在区域内也收敛，而且它们的和等于F(m)(z)。阿贝尔(Abel)定理：如果幂级数在点z0处收敛，如此在任一圆|z-a|=p|z0-a|，0p1内，幂级数一致收敛，并且绝对收敛。达朗贝尔(DAlembert)判别法:对于幂级数，计算如下极限(i)当极
4、限值小于1时，幂级数在点z处绝对收敛(ii)当极限值大于1时，幂级数在点z处发散(iii)当极限值等于1时，敛散性不能判断。柯西判别法：计算极限当极限值小于1时，幂级数在点z处绝对收敛;而当极限值大于1时，幂级数在点z处发散；极限值等于1时，不能判断定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。Taylor级数：定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。环形区域内的解析函数可展成双边幂级数 称为Laurant系数非孤立奇点：假如函数f(z)在z=a点的无论多么小的领域内，总有除z=a以外的奇点，如此z=a是f(z)的非孤立奇点。孤立奇点：假如函数在z=a不可导(或无定义)，而在去心领域0|z-a|解
5、析，如此z=a是f(z)的一个孤立奇点。有限远奇点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)=有限值不含负幂项极点limf(z)=含有限个负幂项本性奇点limf(z)=无定值含无限个负幂项无穷远点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)=有限值不含正幂项极点limf(z)=含有限个正幂项本性奇点limf(z)=无定值含无限个正幂项第四章 留数一阶极点留数：假如g(z)在单连区域D内解析，a在D内，在D内作一环绕点a的围线C。令f(z)=g(z)/(z-a)如此有：一阶极点留数的一种算法:如果那么m阶极点的留数公式如此有Res多连区域的柯西定理:如果在围线C的内部包含n个孤立奇点，利用多连区域的柯西定
6、理就有定理1：如果当z时，假如zf(z)0,如此Resf()=0定理2：第一种类型：型积分令在单位圆内各个奇点的留数之和第二种类型：型积分注意，需要满足条件在上半平面的奇点留数之和 界限上的乘以0.5第三种类型：型积分注意需要符合条件f(z)eimz在上半平面的奇点留数之和泊松积分：菲涅尔积分：第六章 积分变换三角函数系的正交性2周期-展开定理：任意周期2l-展开定理：C(k)是偶函数，D(k)是奇函数傅里叶公式令如此线性定理导数定理积分定理延迟定理相似定理卷积定理注意当t1时M阶贝塞尔方程的本征问题自然边界条件边界条件：本征函数：本征值：的解正交性：模：展开定理贝塞尔函数的性质母函数：加法公式：平面波用柱面波展开公式积分表达式围线积分表达式文案大全
