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1、编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页 共1页DVD在线租赁的分配决策万兵 刘浪 乔勇指导教员：数模组（海军航空工程学院，烟台，264001）摘要：本文研究了DVD在线租赁的分配决策问题。首先对问卷调查中的部分数据进行了概率统计，通过对租赁次数的悲观估计和折衷估计，建立了对5种DVD碟量的评估模型。结合两种会员的数量比例，对其评估结果进行加权，从而得到所需DVD数量的最低要求。其次在处理对当前订单的DVD的分配问题时，以偏大型柯西分布隶属函数定义单个会员的单张碟片的满意度，并进一步定义单个会员的综合满意度，由此建立了以所有会员最大综合满意度为目标的整数规划模型
2、，用lingo8.0求解得最大满意度为2660.105。最后对此模型进行了检验和灵敏度分析。对于问题3），建立了以所有会员综合满意度最高和碟片总购买量最小的双目标规划模型。首先充分分析了DVD的需求预测、购买和分配，然后通过逻辑思维反证法对给定的95%进行了准确的认识，同时，通过巧妙的对交易成功这一概念的引入，对随机变动的DVD流通次数进行了分类确定。接下来在充分分析了模型的合理性后，引入松弛变量将两种决策变量转化为一种决策变量。最后利用目标主次法，将购买量转化为一个约束条件，从而使该模型转化为单目标规划，求得最优解。求解得满意度为2639.165。本文还对DVD在线租赁的分配决策模型进行了进
3、一步的讨论与分析，就会员群体的差异性问题建立了相应的加权组合模型，就会员存碟时间问题建立了存碟时间评估模型。此外，在模型的最后还进一步提出了模型的改进方向，针对问题3）模型求解提出一种改进的算法偏好系数组合法。关键字：DVD租赁；满意度评价函数；目标主次法；01整数规划；双目标规划。 1问题重述 1.1背景知识随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、互动性强、感官性强、成本相对低廉等，
4、为顾客提供更为周到的服务。 考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。1.2问题提出某网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。由历史数据显示，60%的会员每月
5、租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对所给出的5种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。另外求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD条件下应准备的张数。已知网站100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，求解如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度。以及列出前30位会员（即C0001C0030）分别获得的DVD。利用已知的1000位会员的在线订单，求解当DVD的现有数量全部为0时，每种DVD的购买量，以及对这些DVD的分配方案，使得一个月内95%的会员得到他想
6、看的DVD，并且满意度最大。对DVD的需求预测、购买和分配中可能有的重要问题进行进一步研究，并明确提出的问题，建立相应的数学模型。2模型假设在考虑糟糕情况时，假设租赁两次的会员只会在每个月中旬将碟片寄回，但这些碟片不会在本月中再次使用。对于租赁一次的会员，其碟片将不会在本月中途寄回，碟片也只会被利用一次；同时会员也要确保在下月开始前将所有碟片邮回网站；每张DVD碟的价格均相同，即它们除了种类不同外无其它差别；在处理当前DVD的分配问题时，不考虑这些碟片的循环利用率；交易成功定义为会员收到的DVD碟片全部是在其订单中所含有的，交易失败定义为会员没有收到网站邮来的任何碟片；会员得到其想看的DVD理
7、解为会员与网站交易成功，反之交易不成功；网站邮寄碟片只能是一次3张；网站碟片的邮购时间不会发生很大波动，租赁两次的会员有足够的时间在月中旬将碟片寄回。3符号说明：第种DVD的数目；：第种DVD被观看的总次数；：第种DVD在会员选择碟片总数量中的比重；：0-1变量，会员是否分配到第种DVD；：网站拥有的第种DVD的数量； ：会员租赁第种DVD的单项满意度； ：会员对所分配的DVD的综合满意度；：所有会员对所分配的DVD的综合满意度之和；4问题分析问题1） 给出了对1000名会员的部分调查结果，求解会员数量为10万时需要的碟片数目。依据调查结果，可以推算出愿意观看DVD1、DVD2、DVD3、DV
8、D4、DVD5碟片的会员数目。另外由模型假设可知有40%的碟片在一个月内只使用了一次，另外60%的碟片虽然可以使用两次，但针对本问题，考虑最悲观情形即它们只被使用了一次。这样可求得在一个月内碟片的使用次数。为保证愿意观看某种碟片的会员有50%得到该碟片，只需保证此会员数目等于碟片的使用数目就可得到五种DVD数目的评估模型。问题2) 给出了网站100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单。分析数据发现即使每个会员都分配三张碟片，总数为3000，小于网站拥有的碟片总数3007。显然我们只需要建立一个基于最大满意度的整数规划问题，从而求得分配的最优方案。问题3） 会员在线订单情况
9、不变而各种DVD的现有数量全部为0。在95%的会员得到想要的碟片的前提下除了考虑所有会员的综合满意度外还要考虑碟片的总购买量，问题3）与问题2）在要求求解模型上是相似的都是最优综合满意度模型的处理，而问题3）主要是解决一个先购买后分配的问题，这就将全部的问题归结为网站方对各种DVD的购买量问题，及如何对这些DVD的合理分配问题，当购买量一定时如何分配DVD使得会员的综合满意度最大，当会员满意度非常容易满足时，如何分配使得DVD购买量最小。于是我们就建立以所有会员的综合满意度之和最大以及碟片的总购买量最小为目标函数的双目标规划模型。因为要满足95%的会员得到想要的碟片，此时我们引入双方交易成功来
10、准确认识这95%。然后对该双目标规划问题的求解，便可采用目标主次法来求得最优的会员满意度且只需购买尽量低的DVD数量。对于问题4）这种开放式的问题，我们只是从我们前面模型中未得到合理解决的问题着手，重新分析其它影响模型的变量和因素。5模型的建立与求解5.1问题一由前面的分析建立对五种DVD数量的评估模型。设所需种DVD数目为。60%的会员每月租赁DVD两次，另外的租赁一次，则首次分发时分配到租赁两次的会员的DVD数量为0.6，分配到租赁一次的会员的DVD数量应为0.4。考虑这五种DVD分别被观看的总次数。由假设知在月中旬时候网站就将收回前半个月租赁出去的碟片，因此可以评估得到碟片利用总次数。基
11、于网站对1000个会员调查的部分结果的显示，对于网站给出的五种DVD碟，就有与之相对应的愿意观看的人数，由此可分别得到人们对这五种DVD的相对喜爱程度，即第种DVD在会员选择碟片总数量中的比重为,求解如下表所示：DVD类型比重20%10%.5%2.5%1%需要求的是当会员数为10万时需要准备的碟片数量，可以根据1000会员时的比重求得相对应的所需碟片数，即。为求得，考虑到在计算所需碟片时，是至少要满足愿意观看会员人数的50%。为了尽最大可能的实现这个条件，在这里就应该保证所购买的碟片数可以满足遇到的最糟糕情况。每种碟片只是用一次的合理性在模型的假设里已经说得很清楚了，这里直接利用假设将问题转化
12、为一个其求边缘情况的问题。对于保证愿意观看会员至少50%在一个月内能够看到该DVD的问题, 求解的条件为：同理利用此条件求得5种碟片需求量的结果如下：DVD类型需求量6250 31251563782313可以通过柱状图清楚的看到，5种碟片的需求量和愿意观看人数呈相似比例，这也是符合现实生活常理的。对于保证三个月内至少95%的会员看到该DVD问题，采用上面同样的处理方式。即: ,最后求得需求量结果为：DVD类型需求量3959 1980990495198同时注意到并没有考虑购买DVD1对其他类型购买的影响，下面说明这样求解的合理性： 在调查愿意观看的人数时，并没有规定每个人只有一个选择权，这样难免
13、造成有的人将对多种DVD感兴趣，这样调查的结果中愿意观看的人数之和并不一定就能完全表达租赁人数总和的情况，按照愿意观看人数来确定租赁人数，由于人员租赁碟片的的有限性，这样来确定碟片需求量的将不可避免的造成求得的网站供给量大于真正的需求量。但在这里处理的是一个边缘问题，必须考虑到最大可能需求量的情况，即每个会员在问卷调查中都只是选择了他会租赁的DVD类型，愿意观看DVD1的人数和观看DVD2的人数以及其他类型都没有交叉数字。因此在上面的求解中就忽略了此问题，不但简化了模型还有利于提高问题解决的合理性 。5.2问题二当前DVD分配问题5.2.1几个基本问题的处理 现有DVD张数及会员的在线订单的处
14、理 根据问题2）所提供的在线订单排序表，以及网站现有的DVD数量之间的关系，对该表格做出如下简单的处理：首先是对会员订单的喜爱程度进行无差别的处理，也就是将表格中会员的所有订单项的喜爱程度都可以认为是相当的，即所有的非零项都用1来替代，具体的替代结果见附录。同时做出了一个假定网站对所有的会员的这些无差别的非零项（其值为1）都分配上其想要得到的DVD。在这处理后的无差别订单表格中，对所有100列、1000行、以及网站提供的DVD求其总和。具体的处理结果如下图： 会员租赁的DVD的订单中的满意度分析如果只从会员订单的喜欢程度的排序中来讨论其满意度的话，那么无形中就已经默认了这些喜欢程度的排序是均等
15、的，而这不符合实际生活中的等级爱好的偏差。同时，就对于该网站上注册的所有会员而言，就比如，如果网站方给会员分配的DVD为（1，6，7）或者分配给该会员（2，5，7），此时若按上述的方法来处理的话，它们的效果是相同的。然而实际中出现这种情况并非十分合理，毕竟，对每个会员而言，能够看上一部他认为是最精彩的DVD远比多看上几部一般DVD的满意度要强得多。鉴于前面的喜爱程度假设，以及上面的论述，可以借助于会员对DVD的喜爱程度的排序进行逐个单项满意度的确定。注意到，网站方给会员分配的DVD是为中的其中的三项，因此会员对其所得到的DVD定有相应的评价，不妨设其有相应的10个评价集，对应的数值为。同时，还充分考虑到了网站方或是一时出错分配了不在订单上的DVD的情形。根据实际情况取偏大型柯西分布函数，即为会员租赁的第种DVD的订单中的单项满意度函数： （*）其中为待定常数。实际上，在DVD的分配中，在订单上当喜爱度为1的位置上分配了DVD，则其隶属度为1，；同理当喜爱度为5时为时，则隶属度为0.8，即；当喜爱度为6时，则隶属度为0.7；当喜
