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1、预备知识重点难点学习要求14.4 圆锥曲线的应用直线的相关知识圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等直线与圆锥曲线的相交圆锥曲线的相交平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法发现实际问题中圆锥曲线的应用，并能用圆锥曲线的知识予 以解决能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题 注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来 了解圆锥曲线在实际问题中的应用，并能解决其在实际中的 简单应用问题 能综合运用数学知识，将实际问题转化为数学问题#圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域，有非常 广泛的应用.本节将对这些应用作一个初步的介绍，范围涉及直线和圆锥曲 线的综合问题及一些简单的实际应用.
2、1. 直线和圆锥曲线相交问题2 2例1如图14-15，椭圆I 1的焦点分别是Fi和F2,过中心O作 4520直线与椭圆相交于 A、B两点，若.ABF 2的面积是20，求直线AB的方程.分析 设 A(* , y1),B(X2, y2)，则有1S ABF2S AOF2 S BOF 2 = (l y1|+| y2|) F2.图 14-15又OF 2=半焦距，所以只需求出 y1、y2.又因为交点 A、B的坐标取 决于直线AB的斜率k，因此由上式中y1、y2与k之间的关系可求得 k .解 由椭圆方程可知，a2=45, b2=20 , c2=a2-b2=25 .所以OF 2= c=5 .设直线AB的斜率为
3、k，则AB的直线方程为y=kx .设点A、B的坐 标分别为 A(X1, y1)、B(X2, y2).2 2X-. y_从联立方程组45 20中消去X，得y=kx(9k2+4)y2= 180 k2,解出|y1|=| y2|= !180k2K 6 5k .J4 +9k2J4 +9k21又S.ABF2 =Saof2 SBOF2 = t(ly1|+l y2|)OF2=20,即56 5 | k | =20 ,3J4 =9k2解得所以所求的直线方程为y= 一上 x.3例2已知等轴双曲线 x2-y2=4和直线| : y = k(x-1).(1) 当k取何值时，直线l与双曲线有两个公共点？(2) 当k取何值时
4、，直线l与双曲线有且仅有一个公共点?(3) 当k取何值时，直线l与双曲线没有公共点？分析 直线与双曲线的公共点的个数取决于联立方程 个数.x2-y2=4，解的y=k(x-1)解 将 y=k(x-1)代入 x2-y2=4，得1-k2)x2+2 k2x-k2-4=0 .严)当1-k2=0，即k= _1时，方程(* )可化为2x-5=0，此时方程只有一个实数解.当1-k2=0, 即卩kr1时，(* )的判别式.=(2 k2)2-4(1- k2)(-k2-4)=4(4-3 k2).4-3k20,L1-k#0,同的实数解；即-2 3 k 2 3且krl时，方程 严)有两个不334-3k2=0, 1-k2
5、=0,.4-3k20,即k=_2-3时，方程(* )有两个相同的实数解；3即k2J时，方程(*)无实数解.331-k2=0,综上，(1)当-ZvkvL3且krl时，直线I与双曲线有两个公共点;33(2) 当k=_1或k2-3时，直线I与双曲线有一个公共点；3(3) 当k2J时，直线与双曲线没有公共点.33注意 双曲线的渐近线是 y=,所以情况 还可以细分为两种情况: 当k=1, I平行于渐近线，I与双曲线相交于一点；当 k=二乙卫时，I3双曲线相切于一点(如图14-16).从上面两例可见，求直线与圆锥曲线的交点，就是要求由一个二元二次 方程和一个二元一次方程联立的方程组的解若有两解，则直线与圆
6、锥曲线 相交.若有一解，则在椭圆情况，直线必定与之相切；在双曲线或抛物线情 况，则可能相交，也可能相切.若无解，则直线与圆锥曲线相离.课内练习11 .直线y=kx+1 (k0)与椭圆 求k.26x2冬=1相交于A、B两点，| AB |= V 2 ,25y2. 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围.2.圆锥曲线相交圆锥曲线相交，一般要涉及解两个二元二次方程组的问题，因此目前只 能解决一些较特殊的情况.2 2例4 已知抛物线y2=4x和椭圆方程为 有共同焦点F2(如图9 b14-17),(1) 求 b;(2) 如果P是两条曲线的交点，且F1为椭圆的另一个焦点，求PF
7、1F2 的面积.解(1)由抛物线方程可知，其与椭圆的公共焦点坐标为F2(1 , 0)，所以b2=9-1=8 , b=22 .2 2所以椭圆方程为x y 1.98(2)过点P作PM丄x轴，垂足为 M，点P坐标为(x, y)满足方程组y2=4x,消去 y, 得 2x2+9x-18=0 ,解得 x1 = - , X2=-6(舍去). 2代回方程组可得y=6, 从而| PM |=6.S PFF =丄丨 F1F2| PM |= 1 2、6 =.1 2 2 2课内练习22 21. 已知抛物线顶点在原点， 焦点在x轴负半轴上，与椭圆1=1有43相同的焦点，求抛物线和椭圆的交点坐标.x22 已知椭圆y2 =1
8、及点B(0,2交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为-2)，过椭圆的左焦点 Fi与B的直线F2,求.CDF2的面积.3. 简单实际应用圆锥曲线在生活和生产实际中也有很多应用，下面举一些简单的实例.(1)抛物线光学性质的应用能反射光线的镜面的纵剖面是一条抛物线，它有一个特性：从置放在抛物线焦点的点光源发出的光线，经抛物线反射后的光线都是平行的；反之，入射的平行光线经抛物线反射后的光线都经过焦点(如图14-18).这种性质在光学上叫做聚焦性质抛物线的这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射图 14-18装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等的反射镜面，像碗碟一样卫星通 讯接收或发射天线以及太阳能热水器等，都
9、是利用这个聚能特性设计的.例5 某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图14-19(1)，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线的设计尺寸如图 14-19(2)(单位cm).为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？(精确到0.1cm)x图 14-19(2)解以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，开口方向为 x轴的正向，建立坐标系如图14-19(2)，则内壁抛物线方程为y2=2px .据所示尺寸，抛物线过坐标为(40 , 85)的点，所以852=2p 40=80 p , p 90.3 .加热点F应置于抛物线的焦点，而焦点坐标为 (45.2 , 0)，所以F应距碟底约45.
10、2cm .(2)圆锥曲线在建筑中的应用圆锥曲线因其方程简单，线型多变美观，且具有某些很好的力学性质， 因此在建筑方面也不乏应用，特别是当前流行的大型薄壳顶棚建筑，其纵剖 线很多都是圆锥曲线.例6 以石油作为主要原料的合成化工厂的巨大反应塔或燃油发电厂的大型通风冷却塔等，因塔身巨大，为减小建筑成本和自重，需要将其设计成所谓等压力体，即塔身每点处承受相同的压力.经力学分析发现，以纵剖线近似为双曲线的塔身(也即塔的外形是双曲线的一段绕虚轴旋转所得到的曲面)能满足要求现有一如图14-20(1)所示等压力结构的反应塔，其高为55m ,塔的底部直径为27m ,上口直径为14m , 最细的腰部直径为 12m
11、，请据此算出它的外形是怎样的双曲线的一段 绕虚轴旋转得到的.*14 12 一27图 14-20(1)部、腰部、上口部，易知它们的坐标分别为A(6 , 0),yc)，其中C、B的纵坐标还满足 yB=55+ yc.2 2设双曲线的方程为爲_爲=1.a2 b2因为A是双曲线的顶点，所以a=6 .又因为B、C在双曲线上，所以匚(55 yc)2 =162 b213.52622yc=1 .解 在纵的总剖面上，以旋转轴为y轴，旋转轴与腰部最细处的横 截面的交点为原点，建立如图 14-20 (2)所示的坐标系，则塔身在此面 上成为实轴在x轴上的双曲线的一段用C、A、B三点分别表示塔底由(1)解出b2=36 (
12、55+yC)2,由 解出b2= 36yC ;由此得到13146.25yc.36 ( yc +55) 2=3613146.25化简，并取两位小数，得到yc的方程：yC+120.73 yc+3320.12=0 , 解出 yc=1 (-120.73 _35.99).2因为yB=55+yc0，因此应取正号，所以 yc ：.-42.37 ;b2=36(-42.37) 2, b ：21.02 ,146.25yB=55-42.37=12.63.2 2所以塔身系上述坐标系中方程似为X _ y =1的双曲线上在点 B(7 ,3644112.63)、C(13.5，-42.37)之间的一段绕y轴旋转而得.例7日本大
13、坂机场以建造在填海而成的人造岛上闻名于世，并且就其 建筑本身而言，日本大坂机场也是人类建筑史上的奇迹.为了解决地面建筑 必须有一定的高度，但高度又会导致负荷过重使地面下沉的矛盾，并考虑到 因人造岛基础沉降需要随时调节建筑支柱高度的需要，建筑师们采用了薄壳 顶棚结构.日本大坂机场整个屋面的纵断面是一条巨大的椭圆曲线，其几何 中心在地下20 km的深处(如图14-21(1)，其中呈轴对称的 AB曲线段即为 纵剖面上的椭圆段)请根据图上设计尺寸(单位：m)求出椭圆的方程. 点的椭圆，近地点 A距地面为439km，远地点B距地面为2384km，且A、 C、B在同一直线上.地球半径为 6371km，求卫
14、星的运行轨道方程.(精确 到 1km)以曲线段AB的对称轴为y轴，距顶棚最高点20092处为原点,立坐标系(如图14-21(1)，则A(900 , 20060) , B (-900 , 20060) ,C(0, 20092),2 2 设椭圆方程为笃爲=1.m n因为C是椭圆在y轴上的顶点，所以n =20092 .2 2再以点A的坐标代入，得5 - 20060 =1，解得m 15952.8 . m22009222 2所以椭圆方程为一x一-=1.15952.8220092260丿O 92nnnnrnrT1800 图 14-21(1)(3)圆锥曲线与天文计算因为太阳系中天体运动轨道几乎都是圆锥曲线，古代人们为了占卜及预报日食、月食等需要，对圆锥曲线作了大量研究，不但使圆锥曲线成为最早x认识的非圆曲线，也促进了数学本身的发展.人造地球卫星的轨道也是椭圆，人们在设定了一定的轨道参数之后，就能控制和预报卫星的运行
