《八年级数学下册第二十二章四边形22.7多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和素材新版冀教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学下册第二十二章四边形22.7多边形的内角和与外角和探索多边形的内角和与外角和素材新版冀教版（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、探索多边形的内角和与外角和一、内容综述：多边形（n边形）：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形。凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧。凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直线的两侧。正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。n边形的内角和=(n-2)180。任意多边形的外角和都为360（外角和是指：每个顶点取且只取一个外角）。注意：(1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；(2)凸多边形的内角的范围：0180。二、例题分析：例1(1)22边形的内角和是多少度？若它的
2、每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？(3)几边形的内角和是2160？是否存在一个多边形内角和为1000？(4)已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解决。解：（1）（22-2）180=3600360022=（ ）180-（ ）=（ ）（2）设n边形的内角和是八边形内角和的2倍则（n-2）180=2（8-2）180n=14（3）设n边形的内角和是2160则（n-2）180=2160n=14设n边形内角和为1000，则（n-2）180=1000因为n不是整数，不符合题意。
3、所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为1000(4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为n。根据题意得：（n-2）180=2360，n=6例2(1)已知多边形的每个内角都是135，求这个多边形的边数；(2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系解：（1）因为多边形的每个内角都是135，所以它的每一个外角都是45，36045=8，这个多边形是8边形。（2）因为每个外角都相等，则每一个内角也都相等。设外角为x则内角为9x，因为每一个内角与它的外角互为邻补角，所以：x+ 9x=180x=18因为多边形
4、的外角和为360，所以36018=20，此多边形为20边形。例3(1)某多边形除一个内角外，其余内角的和是2750求这个多边形的边数(2)已知n边形恰有四个内角是钝角这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？解：（1）因为凸多边形的每一个内角的范围是：0180，所以设这个多边形的边数为n，2750+0(n-2)1802750+180因为n为整数，所以n=18。（2）解：因为n边形恰有四个内角是钝角，所以n边形恰有四个外角是锐角，由于n边形个外角和是360，所以外角中最多有3个钝角，若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则
5、是六边形；若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形；其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形例4已知：四边形ABCD中(如图)，A与B互补，C=90，DEAB，E为垂足若EDC=60，求B.A及ADE的度数解：因为，A+B=180，所以 ADBC所以C+ADC=180，因为C=90，所以ADC=90又因为EDC=60，所以ADE=30因为DEAB，所以AED=90在ADE中ADE=30，AED=90，所以A=60因为，A+B=180，所以B=120例5已知多边形内角和与某一个外角之和为1350，求这多边形的边数解：因为凸多边形的每一个外角的范围也是：0180所以设这个多边形的边数为n
6、，1350-180(n-2)1801350-0因为n为整数，所以n=9。答：这多边形的边数为9。例6如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30，求这个多边形的内角和及对角线的总条数解：解：设外角为x则内角为（4x+30）因为每一个内角与它的外角互为邻补角所以：x+(4x+30)=180x=30因为多边形的外角和为360，所以36030=12这个多边形的内角和为（12-2）180=1800因为12边形从任意顶点出发均可以画出9条对角线所以对角线的总条数为：912=54这个多边形的对角线的总条数为 12（12-3）=54例7如图，CDAF，CDE=BAF，ABBC，C=124，E=80，试
7、求F的度数.解：连接AD，在四边形ABCD中，DAB+B+C+CDA=360因为ABBC，所以B=90又因为C=124，所以DAB+90+124+CDA=360，DAB+CDA=146因为CDAF，所以CDA=DAF （1）又因为CDE=BAF，所以BAD=EDA (2)由（1），(2)得DAF+EDA=CDA+BAD=146 （3）在四边形ADEF中，DAF+EDA+F+E=360 （4）将(3)代入（4）得 F+E=214又因为E=80，所以F=134。例8如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120角，边长为：AB=2cm，BC=8cm，CD=11cm，DE=6cm.求这个六边形的周长是
8、多少？分析：应当充分利用“凸六边形ABCDEF的六个角都是120”，可以得到重要结论：每个外角都是60，从而想到可以得到特殊三角形：等边三角形！解:延长 AB，BA，CD，DC，EF，FE分别交于G，H，I三点。由凸六边形ABCDEF的六个角都是120，得AGF，IBC，DEH，IGH都是等边三角形所以BI=CI=BC=8cm，DH=EH=DE=6cm故GI=GH=IH(=IC+CD+DH)=25cmGF=AF=AG=IG-AB-BI=15cmEF=GH-GF-EH=4cm六边形ABCDEF的周长是2+8+11+6+4+15=46(cm)。例9多边形内角中，为什么不能有超过3个的锐角？答：直接
9、证明较困难，因而利用多边形外角和定理，采取反证法证法提要：若有n(n4)个内角为锐角，则与其对应的外角就有n(n4)个钝角，它们的和大于360，与外角和定理相矛盾故得证例10为什么“四边形的周长大于两条对角线长度之和？”分析：先将问题转化为：“已知，求证”的形式。已知：四边形ABCD得对角线AC与BD相交于E，求证：AB+BC+CD+DAAC+BD。证明：在ABD中:AB+ADBD(1)在ABC中:AB+BCAC(2)在BCD中:BC+CDBD(3)在ACD中:CD+ADAC(4)(1)+(2)+(3)+(4)得 AB+BC+CD+DAAC+BD。例11用正多边形铺地面，哪些正多边形可以铺得平整且无空隙？为什么？答：只有正三角形、正方形、正六边形。由于要求铺得平整且无空隙，所以若干个正n边形的内角可以组成360，即 （k为正整数）能够满足上面方程的n只有3，4，6。
