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1、仅供个人参考Sec. 7.3 Fourier 变换的性质Fourier 变换的性质设 F f ( r )G(w) , 且我们约定 : 当涉及到一个函数需要进行Fourier 变换时 , 这个函数总是满足变换条件的线性性质For personal use only in study and research; not for commercial use若 , 为任意常数 , 则对任意函数 f1 和 f2 , 有F f1f 2 F f1 F f2 证明 : 由定义有F f1f 2 f1 ( x)f 2 ( x)e iwx dxf1 ( x)e iwx dxf 2 ( x)e iwx dxF f1
2、 F f 2 延迟性质设 w0 为任意常数 , 则F eiw 0 x f ( x)G(ww0 )证明 : 由定义有iw xiw xiwxF e 0 f ( x)e 0 f ( x) ef ( x)ei ( w w0 ) xG(ww0 )dxdx不得用于商业用途仅供个人参考位移性质设 x0 为任意常数 , 则F f (xx0 )e iwx 0 F f ( x)证明 : 由定义有F f (xx0 )f ( xx0 )e iwx dxeeiwx 0f ( x x0 ) e iw( x x 0 ) d (x x0 )iwx 0f ( x ) eiwxdxe iwx 0 F f (x)相似性质设 a 为
3、不为 0 的常数 , 则F f (ax)1 G( w)aa证明 : 令 axx , 则当 a0 时有F f (ax)f (ax)e iwx dxiwxxf (x )ea da1waG( )a而当 a0 时, 有F f (ax)f ( ax)e iwx dxwf ( x )e i a x d xa1wG()所以F f (ax)1 G( w )aa不得用于商业用途仅供个人参考原函数微分性质若当 x时,f ( x)0 ,f ( n 1) (x)0 , (其中 n1,2, ), 则F f(x)iwF f ( x)F f(x)(iw)2 F f ( x)F f ( n) ( x)(iw)n F f (x
4、)证明 : 由定义有F f( x)f(x) e iwx dx f ( x)e iwx f ( x)( iw)e iwx dx因为当 x时, f ( x)0, 因此F f(x)iwf (x)e iwx dxiwF f ( x)又因为当 x时 ,f (x)0 ,因此F f ( x)F df ( x) iwF f ( x)(iw )2 F f ( x)dx重复以上过程便可得证像函数的微分性质设F1 ()() 则F1 ( )(ix)()F wf xF wf x证明 : 上式两边作算符 F,并利用 FF-1=1F ixf ( x)( ix) f (x)e iwx dxf ( x) de iwxdxdf
5、( x)e iwx dx F (w)dwdw例 :求 y x 的 Fourier 变换 .解 :此函数不满足绝对可积条件, 但是可以利用函数变换中已有的公式yx1 x ,F 1e iwx dx2()不得用于商业用途仅供个人参考由微分性质可得 :F x2 i()例 : 求 f ( x)xx0 的 Fourier 变换0 x 0解 : 此函数可以写成 f ( x) xH ( x) , 还是利用微分性质F f ( x) i 1( w)12 i ( w)iw积分性质x1 F f ( x)F f ( )d x0iw证明: 因为所以又由微分性质有dxf ()df (x)dxx0 dx( )()FfdFfd
6、xxx0F dxxf ( )d iwF f ( )d dx x0x0比较上面两式便可得证.卷积定理已知函数f1 (x) 和 f 2 ( x) , 则定义积分f1 ( ) f 2 (x)d为函数 f1 (x) 和 f2 (x) 的卷积 , 记作 f1 ( x) * f 2 ( x) , 即f1 (x) * f 2 (x)f1 ( ) f 2 ( x)d不得用于商业用途仅供个人参考卷积运算 ”*”是一种函数间的运算 , 易于证明它与乘法相似 , 具有交换律、结合律与分配律 , 即f1 ( x) * f 2 (x)f 2 ( x) * f1 (x) f1 (x) * f 2 ( x) * f3 (
7、x)f1 ( x) * f 2 ( x) * f 3 (x)f1 ( x) * f2 (x)f 3 ( x)f 1 (x) * f 2 ( x)f1 (x) * f3 (x)对于函数f1 (x) 和 f 2 ( x) , 有F f1 ( x) * f2 (x)F f1 ( x) F f 2 ( x)此即卷积定理 .证明 : 由定义F f1 * f2 f1 ( ) f2 (x)d e iwx dx由于 f1 和 f 2 都是在 (,) 上绝对可积的 , 故积分可以交换次序, 因此F f1 * f2 f1 ( )f2 (x)e iwx dxdf1 ( ) e iw F f 2 dF f1 F f
8、2 像函数的卷积定理F f1 (x) f2 (x)1F f1( x) * F f 2 ( x)2证明 :不得用于商业用途仅供个人参考F f ( x)f2( x)f( x) f2( x)e iwx dx11f1 ( x)1G2 (w )eiw xdw e iwx dx21G2 ( w )f1 ( x)e i ( w w ) xdx dw21G2 ( w )G1 ( ww ) dw21G2 (w) * G1 ( w)21 F f1 ( x) * F f2 ( x)2E0xa例 : 求图 1 所示的函数 f ( x)的像函数0 x a解 : 利用定义求像函数并不复杂 , 下面介绍利用变换的性质来求像
9、函数 , 利用H (x) 函数把图示的函数写成如下的解析式:f ( x) E 0 H ( x a) H ( x a)图 1图 2利用延迟性质 :F f ( x) E0eiaw 1( w) E0e iaw 1(w)iwiw12i sin awE0 iw( w)2 sin awE0w说明 :如果分段定义图1 中的函数 , 只能利用定义来求像函数, 利用 H (x) 函不得用于商业用途仅供个人参考数可以写成定义在,的函数 , 再利用 H ( x) 的性质来求 , 多数情况可以简化公式按函数的定义, 它总要参与积分的运算才有意义, 所以有关系式f (x) ( xx0 )f (x0 ) ( xx0 ) , 因此上题括号中第二项为0把图 1 的函数左移 a 得到图 2 的函数 , 可以利用延迟来求它的像函数.F f (t a)2 E0 e iaw sin aww例 : 求 f ( x) H ( x) sin ax 的 Fourier 变换解 : 利用 Fourier 变换的位移性质来求F f ( X ) Feiaxe iaxH ( x)1 F eiax H ( x)1 F e iax H ( x)2i2i2i11( w11( w a)2ii waa)i w2iaa( wa) (wa)
