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1、流体力学典型例题（9大类）例1例3牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用例4例5流体静力学基本方程式的应用用流体静力学基本方程和等压面计算某点的压强或两点之间的压差。例6例8液体的相对平衡流体平衡微分方程中的质量力同时考虑重力和惯性力（补充内容）（1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关）（2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关）例9求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度）；涡量计算及流动有旋、无旋判断例1016速度势函数、流函数、速度场之间的互求例17计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度例1820动量定理应用（课件中求弯管受力的例子）例2122总流
2、伯努利方程的应用例23综合：总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算例题1：如图所示，质量为m5 kg、底面积为S40 cm60 cm的矩形平板，以U1 m/s的速度沿着与水平面成倾角的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度1 mm，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律：，即：粘性是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性是流体的一种固有物理属性；流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重性。例题2：如图所示，转轴的直径d
3、0.36 m，轴承的长度l1 m，轴与轴承的缝隙宽度0.23 mm，缝隙中充满动力粘性系数的油，若轴的转速。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力粘性阻力（摩擦力）：克服油的粘性阻力所消耗的功率：例题3：如图所示，直径为的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度旋转，此时所需力矩为，求间隙厚度的表达式。解：由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径处取径向宽度的微元面积环，根据牛顿内摩擦定律，可得该微元面积环上受到的切向力为：例题4：如图所示的双U型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度（取管中水
4、的密度1000 kg/m3）。 解：经分析可知图中1-1和2-2为两组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程，采用相对压强可得：左侧：，右侧：中间：联立可得：例题5：如图所示，U型管中水银面的高差h0.32 m，其他流体为水。容器A和容器B中心的位置高差z1 m。求A、B两容器中心处的压强差（取管中水的重度9810 N/m3，水银的重度133416 N/m3）。解：图中1-1、2-2为2组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程，可得：，例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H，长L3m，静止时盛水深度h=。现水箱以的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度，水箱中自由水面的
5、压强98000Pa。试求：（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度。解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z轴垂直向上，x轴与加速度的方向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为代入非惯性坐标系中的压力全微分公式，得 积分得 利用边界条件确定积分常数：在坐标原点O（）处，得由式可得水箱内的压强分布对于水箱中的等压面，有，所以由式可得等压面的微分方程积分得 上式给出了一簇斜率为的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数。因此自
6、由水面方程为（2）假设水箱以加速度运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为，则根据加速前后水的体积不变的性质可得 又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系 和式联立求解，得：例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D1 m，高H2 m，静止时水深为h1.5 m。求：（1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度应控制在多大？（2）当6 rad/s时，筒底G、C点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为，则由：，可推出自由水面（为一等压面）的方程：根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，
7、可得：由此可求得：，带入自由表面方程得：若使达到某一最大值而水不溢出，则有时，带入上式，得（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为将G点条件：带入得：同理，将C点条件：带入得：例题8：如图所示为一圆柱形容器，直径为，高，容器内装水，水深为，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速。解：如图所示，将坐标原点o放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为，则由：，可推出自由水面（为一等压面）的方程：根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：由此可求得：，带入自由表面方程得：若使达到某一最大值而水不溢出，将时，带入上式，得 例9 已知平面直角坐标系中的二维速度场
8、。试求：（1）迹线方程；（2）流线方程；（3）时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度；（4）涡量（即旋度），并判断流动是否有旋。解：（1）将代入迹线方程得：采用变量代换法解这个微分方程。令，则，代入上式，得：，于是得迹线的参数方程：其中，是积分常数（拉格朗日变数）。消掉时间，并给定即可得到以表示的流体质点的迹线方程。例如：已知欧拉法表示的速度场，求流体质点的迹线方程，并说明迹线形状。将代入迹线微分方程：，得：分离变量并积分，得： 从上两式中消去时间t得迹线方程： 即： 可见，该流场中流体质点的迹线为一双曲线。（2）将代入流线微分方程得：将看成常数，积分上式得流线方程：或 （3）由质点导数
9、的定义可得流动在x和y方向的加速度分量分别为：所以，时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度为：（4）由涡量（旋度）的定义，对于题中所给的平面流动有：所以流动无旋。求速度势函数（一）利用势函数的全微分求由，得又由，得，积分得于是，求速度势函数（二）按势函数定义求例题10已知：速度场。求证：此流动是不可压缩流体的平面势流，并求速度势函数。解：平面流动不可压缩无旋求速度势函数（一）利用势函数的全微分求由，得又由，得，积分得于是，求速度势函数（二）按势函数定义求 （正确）不能按三个独立的不定积分相加求（错误）例题11已知：三维速度场。求证：此流动是不可压缩流体的无旋流动，并求速度势函数。解：不可
10、压缩流体，流动无旋求速度势函数（一）利用势函数的全微分求由，得又由，得，可得于是，求速度势函数（二）按势函数定义求（正确）不能按三个独立的不定积分相加求 （错误）例12 已知二维速度场为，。（1）证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动；（2）求该二维流场的流函数；（3）证明该流动为势流；（4）求速度势函数。解：（1）平面流动判定不可压缩流体平面流动的连续方程为由已知条件可求，可见速度分布满足连续方程。故可以表示不可压缩流体的平面运动。（2）流函数的确定按流函数定义和已知条件有 (1) (2)积分式(1)得 (3)为确定函数，将式(3)对求偏导，并按流函数定义令其等于，即 (4)由式(4)
11、可以判定，积分求得 (5)其中为积分常数。将式(5)代入式(3)，得： （3）有势流动判定判定流动是否为有势流有两种方法。方法一：是直接利用速度场求旋度看其是否为零由此可以判定流动为有势流。方法二：看流函数是否满足拉普拉斯方程（因为平面不可压缩势流同时存在流函数和势函数）：流函数满足拉普拉斯方程，流动为势流。（4）势函数方法一：按势函数定义和已知条件有 (6) (7)积分式(6)得 (8)为确定函数，将式(8)对求偏导，并按势函数定义式(7)令其等于，即 (9)由式(9)可以判定，积分求得 (10)其中为积分常数。将式(10)代入式(8)，得： 方法二：因已证明流动为有势流，则必然存在势函数，
12、且和已知。可按势函数定义求：例13：证明：所表示的流动是势流，并求出该流动的速度势函数。解：1）判断流动是否为势流方法一 对于平面内的流动，说明流动无旋，所以是势流。方法二 ，流函数满足Laplace方程，所以流动是势流。平面不可压缩无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程。注：1、不可压流体无旋流动的速度势函数满足Laplace方程：2、不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足Laplace方程2）因为 所以 又因为 所以 ，于是 例14： 三维不可压缩流场中，且已知处，试求流场中的表达式，并检验是否无旋？解：由连续方程得：积分得： 由处=0得：c=0所以流场中的表达式为由于，可见，当时，该流体运动是无旋的；当时，该流体运动是有旋的。例15：已知二元流场的速度势为（1）试求和，并检验是否满足连续条件和无旋条件。（2）求流函数。解：（1），由于，满足连续方程；由于，流动无旋。（2）由流函数的定义：
