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1、课程主题：整数与整除，因数倍数，素数合数，最大公因数与最小公倍数课前热身：一、因数与倍数1、概念：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数；b就叫做a的因数（也叫约数）。2、分别写出16和13的因数。3、思考：一个整数，有没有最小的因数，有没有最大的因数？有没有最小的倍数，有没有最大的倍数？二、素数与合数一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做素数 （也叫做质数）.一个数除了 1和它 本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是素数，也不是合数.常用的 100 以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61
2、、67、71、73、79、83、89、97,共计 25 个；除了 2 其余的素数都是奇 数；除了 2和5,其余的素数个位数字只能是1，3，7或9.考点：值得注意的是很多题都会以素数 2的特殊性为考点. 除了 2和5,其余素数个位数字只能是1，3，7或9.三、素因数与分解素因数素因数：如果一个素数是某个数的约数，那么就说这个素数是这个数的素因数互素数：公约数只有1的两个自然数，叫做互素数.分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数例如：30=2 3 5.其中2、3、5叫做30的素因数.又如12 =2 2 3 = 22 3，2、3 都叫做12的素因数，其中后一个式子叫做分解素
3、因数的标准式，在求一个数约数的 个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解素因数往往是解数论题目的突破 口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成素数的连乘积，即：n = p：1 p；2 p；3川p：k其 中p为素数，ai : a? ：（|川| ：ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的素因子分 解式.例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.分析：210=2X 3X 5X 7,二可知这三个数是5、6和7.部分特殊数的分解111=3 37; 1001=7 11 13; 11111=41 271 ; 10001=73 137; 199
4、5=3 5 7 19 ;1998 =2 3 3 3 37; 2007=3 3 223; 2008 = 2 2 2 251; 10101=3 7 13 37.判断一个数是否为素数的方法根据定义如果能够找到一个小于 p的素数q（均为整数），使得q能够整除p,那么p就 不是素数，所以我们只要拿所有小于p的素数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近 p的平方数K2，再列出所有不大于K的素 数，用这些素数去除p,如没有能够除尽的那么p就为素数.例如：149很接近144=12 12，根据整除的性素149不能被2、3、5、7、11整除，所 以149是素数.四、最大公
5、约数1、公约数思考：六一儿童节这天，老师带着 24名女生和32名男生做游戏，要求把这些学生分 成人数相等的若干组，每小组中男生和女生人数都相同，最多可分成几组？上面中间数字1、2、4、8就是这两部分共有的因数，我们就叫做公因数，其中8是最大的因数，就叫做最大公因数。2、最大公约数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。3、求最大公因数的方法(1)短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.218 12例如：3|9 6，所以(12,18)=2x3=6 ; ( 2)辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够3 2整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相除法求两
6、个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数， 得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质 的)例如，求600和1515的最大公约数：1515-：-600二2315 ； 600-：-315=1285 ；315,285 =130 ； 285,30=9 15 ； 30亠15=2 0 ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15.五、最小公倍数1、公倍数思考：在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车
7、，轨道交通3号线每隔4分钟发车，早 上6： 00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？公4咅数公倍数像上面12、24等就是3和4的公倍数，其中12是最小的，就叫做最小公倍数。2、最小公倍数几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数；其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。3、求最小公倍数方法短除法求最小公倍数；218 12例如：39 6 ，所以 18,12|-2 3 3 2 =36 ；3 2六、求约数个数与所有约数的和1. 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如：1400严格分解质因数之后为23 52 7 ,所以它的约数有
8、(3+1) X (2+1) X (1+1)=4 x 3X 2=24个。(包括1和1400本身)2. 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幕求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。女口： 21000 =23 3 53 7，所以21000所有约数的和为2323(1 222 )(1 3)(1 5 55 )(1 7) =74880七、求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ;求出各个分数分母的最大公约数b ； a/b即为所求.例如：3, = 3,5=嗟
9、4 12(4,12)4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如:r们，-232,3八、最大公约数与最小公倍数的常用性质1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果m为A、B的最大公约数，且A二ma，B二mb，那么a b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：M | A Ba b A B =ma mb=m mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； 最大公约数是A、B、A B、A 一 B及最小公倍数的约数.2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即（a,b） a,b =a
10、 b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。知识精讲：【例1】 求112和182的最大公约数？（用三种不同的方法）【解析】分解质因数法：112=24 7，182 =2 7 13，所以（112，182） = 2 7 =14。 2112 182短除法：7 56 91，所以（112，182） = 2 7 =14。8 13辗转相除法：182-： 112 =1|）70，11270=1|卄42，70-：-42 = 1| 28，42亠28二1|14，28-：-14 =2，所以（112，182） =14。【例2】 求36与76的最小公倍数（用两种不同的方法）。【解析】分解因式法：36=2232 , 76=419，
11、所以36,76=2?3219 =6842 36 76短除法：2A838，所以18， 30 =2汉2灯9=6849 19【例3】 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有 剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的 边长应该是长方形的长和宽的公约数由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正 方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数.1米3分米5厘米=135厘米，1米5厘米=105厘米，（135,105）=15，长方形纸块的面积为135 105 = 14175 （平
12、方厘米），正 方形纸块的面积为15 15 =225 （平方厘米），共可裁成正方形纸块14175亠225 = 63（张）.【例4】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼 物？在每份礼物中，三样水果各多少？【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有（336,252,210） -42,即可以分42份，每份中有苹果8个，桔子6个，梨5个.【例5】 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,试求这两个数的差.【解析】设这两个自然数为：5a、5b，其中a与b互质，5a 5b =50，a F=10，经检验，容易得 到两组符合条件的数：9与1或者7与3.于
13、是，所要求的两个自然数也有两组：45与 5，35与15.它们的差分别是：45-5 = 40，35- 15= 20.所以，所求这两个数的差是 40或者20.【例6】一次考试，参加的学生中有1得优，1得良，1得中，其余的得差，已知参加考试的732学生不满50人，那么得差的学生有多少人？【解析】由题意“参加的学生中有1得优，1得良，1得中”，可知参加考试的学生人数是 7,7323, 2的倍数，因为7，2，3的最小公倍数为42, 42 2 =84.50，所以参加的学生总数 为42人.那么得差的学生有：42 （1一1）“人.732【例7】已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数.【解析】
14、由于两个自然数的积二两数的最大公约数两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是240“ 60 =4，设这两个数分别为4a、4b，那么（a,b） =1，且a b=60,4=15，所以a和 b可以取1和15或3和5，所以这两个数是4和60或12和20.综合应用【例8】 数360的约数有多少个？这些约数的和是多少？【解析】360分解质因数:360=2 X 2X 2X 3X 3X 5=23 X 32 X 5; 360的约数可以且只能是2a X 3b x 5c,（其中a,b,c 均是整数，且a为03,6为02,c为01）.因为a、b、c的取值 是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为（3+1）
15、X （2+1） X （1+1）=24 .我 们先只改动关于质因数3的约数，可以是1,3, 32 ,它们的和为（1+3+32）,所以所有360 约数的和为(1+3+32) x 2y x 5w ；我们再来确定关于质因数 2的约数,可以是1,2, 22 ,23,它们的和为(1+2+ 22 +23)，所以所有360约数的和为(1+3+ 32) x (1+2+22 + 23) x 5w; 最后确定关于质因数5的约数，可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和 为(1+3+32) X (1+2+ 22 +23) X (1+5).于是,我们计算出值:13 x 15X 6=1170.所以,360 所有约数的和为1170.【例9】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37 ,乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。【例10】九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的
