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1、二次函数y=a (x-h) 2+k(a丰0)的图象与性质一知识讲解(提高)【学习目标】1. 会用描点法画出二次函数y=a(x - h)2k(a、h、k常数，a工0)的图象.掌握抛物线2 2y =a(x -h) k与y =ax图象之间的关系；亠 222. 熟练掌握函数 y =a(x -h) k的有关性质，并能用函数y = a(x - h) - k的性质解决一些实际问题；3. 经历探索y =a(x -h)2 k的图象及性质的过程， 体验 y = a(x h) + k 与 y = ax、y = ax + k、y =a(x -h)2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.【要点梳理】
2、要点一、函数 y =a(x-h)2(a = 0)与函数y=a(x-h)2 k(a = 0)的图象与性质1.函数y =a(x-h)2(a =0)的图象与性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(h, 0)x=hxAh时，y随x的增大而增大；xch时，y 随x的增大而减小；x = h时，y有取小值0 .a c0向下(h，0)x=hxAh时，y随x的增大而减小；xch时，y 随x的增大而增大；x = h时，y有最大值0 .2.函数y二a(x -h)2 k(a = 0)的图象与性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(h, k )x=hxAh时，y随x的增大而增大；xh时，y 随x的增
3、大而减小；x = h时，y有最小值k .a v0向下(h, k )x=hxAh时，y随x的增大而减小；xh时，y 随x的增大而增大；x = h时，y有最大值k .要点诠释：二次函数y二a(x-h)2+k(aM0)的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象 与性质运用数形结合、函数、方程思想解决问题.要点二、二次函数的平移1.平移步骤：2 将抛物线解读式转化成顶点式y =a xh j亠k，确定其顶点坐标 h, k ； 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下:向右炉0)【或左优切)】 平移网个单位向上炉【或商叭Ml)】平移国亍单位* y=ax厂魂的
4、)即向上(AU)【或下炉】平移阔个单位向右(40)【咸左防0)】 平移闾个单位向上(RO)【或下(E)】 平移隔个单位向右0)【或左啊)】平移屈个单位* y=ax-h+k2. 平移规律：在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减,上加下减”.要点诠释：讨二ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，讨二ax2 bx c变成y = ax2 bx c m (或 y = ax2 bx c - m)y = ax2 bx c沿x轴平移：向左(右)平移 m个单位，y = ax2 bx c变成2 2y = a(x m) b(x m) c (或 y = a
5、(x _ m) b(x _ m) c)【典型例题】类型一、二次函数y二a(x - h)2 k(a = 0)图象及性质2 1 21.已知y=a(x-h)2是由抛物线y x向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长2度得到的抛物线.(1) 求出a、h、k的值；1(2) 在同一坐标系中，画出y=a(x-h)2与yx2的图象；2(3) 观察y=a(x-h) k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y =a(x -h)2 k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？【答案与解读】1 2(1) t 抛物线y x向上平移2个单位长度，
6、2再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y”1)2 2 ,2 a = 一1, h = 1, k =2 .2y有最大值是2.【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线y =-x2平移后的抛物线的解读式，再对比2当x 1时，y随x增大而减小，当x = 1时，函数 由图象知，对于一切 x的值，总有函数值 yw 2.2y=a(x-h) k得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题.举一反三:【变式】把二次函数y =a(x -h)2 k的图象先向左平移 2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函1 2 数y (x，1)2-1的图象.2(1)试确定a、h、k的值；(2) 指出二次函数 y =a(x-h)2
7、k的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性.【答案】1 一(1) a ,h =1,k = -5. (2)开口向下，对称轴 x=1,顶点坐标为(1, -5),2当x 1时，y随x的增大而减小；当x v 1时，y随x的增大而增大.2.2x -1 i 1 xW 3一已知函数y，则使y=k成立的x值恰好有三个，则 k的值为()l(x_52 _1(x3)B. 1C. 2A. 0D. 3【答案】2lx 1-1 xW3【解读】函数y的图象如图:j(x-5丫 -1(x3)I根据图象知道当y=3时，对应成立的x恰好有三个， k=3.故选D.【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关
8、键是把解方程的问题转换 为根据函数图象找交点的问题.类型二、二次函数 y = a(x - h)2 k(a = 0)性质的综合应用23. (2014秋？滨海县期末)已知：二次函数y=x - 4x+3 .(1 )求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；(2) 求出该抛物线与x轴的交点坐标；(3) 当x取何值时，yv 0.2【解读】 解：(1 ) y=x - 4x+3 , y= (x - 2) 2 - 1,对称轴为：直线 x=2 ,顶点(2,- 1);(2) 令 y=0,则,x2- 4x+3=0 ,( x - 1)( x - 3) =0 ,- X1=1 , x2=3,与x轴的交点坐标为(1, 0),(
9、 3, 0);(3) 当 1vxv 3 时，y v 0.【总结升华】 本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解读式整理成顶点式形式求解更简便.举一反三：2【变式】(2014秋？岑溪市期末)已知抛物线 y=2 (x- 1)- &(1) 直接写出它的顶点坐标：，对称轴：；(2) x取何值时，y随x增大而增大？【答案与解读】解：(1)抛物线y=2 (x- 1) 2 - 8的顶点坐标为(1, - 8),对称轴为直线 x=1 ;故答案为(1,- 8),直线x=1 ;(2)当x 1时，y随x增大而增大.C4.如图所示，抛物线y1= . 3(x1)2的顶点为
10、C,与y轴交点为A,过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B. 求直线AC的解读式y kx b ；(2) 求厶ABC的面积；(3) 当自变量x满足什么条件时，有y1 y2?【答案与解读】(1) 由% F3(x 1)2知抛物线顶点C(-1，0)，令x= 0，得 y3, A(0, . 3) 由待定系数法可求出b = j3 , k =计3 ,y2 = . 3x ?.(2) I 抛物线y1 -.3(x 1)2 的对称轴为x = -1，根据抛物线对称性知B(-2,腑).Sa abc(3)根据图象知x 0或x ： -1时，有y, y2.【总结升华】图象都经过 A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解读式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结 合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用 图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围.
