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1、定义：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。 它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小 二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实 际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合 其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二 乘法来表达。最小二乘法原理：在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系 时，通常可以得到一系列成对的数据（x1,y1.x2,y2. xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中，若发现 这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如（式1-1）。Yj= a0 + a1 X （式 1-1）其中：a0、a1是任意实数
2、1.多项式曲线拟合:polyfit1.1常见拟合曲线：直线：多项式:y=a0x+ai37 rTydsA +63WC -cbx +q一般次数不易过高2 3双曲线：y=a0/x+a1指数曲线：y=a*e b1.2 matlab中函数P=polyfit（x,y,n）P S mu=polyfit（x,y,n）polyval（P，t）：返回n次多项式在t处的值注：其中x y已知数据点向量分别表示横纵坐标,n为拟合多项式的次数，结果返回：P-返回n次拟合多项式系数从高到低依次存放于向量P中，S-包含三个值其中normr是残差平方和，mu-包含两个值mean（x）均值，std（x）标准差。1.3举例1.已知
3、观测数据为：X：01234567891Y :-0.4471.9873.286.167.087.347.669.569.489.311.2用三次多项式曲线拟合这些数据点:x=0：0.1：1y=-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2plot(x,y,k.,markersize,25)hold onaxis(0 1.3 -2 16)p3=polyfit(x,y,3)t=0:0.1:1.2:S3=polyval(P3,t);plot(t,S3,r);2.拟合为指数曲线1.552472.933.032.89嚣so&xur*1000
4、x10*1500x102000x102375x10g（N&）X103xl0J2.465X1031.953 xlOJL517xl03U19xlB3已知应力-应变关系可以用一条指数曲线来描述，即假设a =您代换,求得 .=一=*494.5209,= In = 83009,于是 虹=4.0275xl0 Jt2 = 494.5209 拟合曲线为：b = 4.0275 x 1。3砧汹靠注：在对已测数据不太明确满足什么关系时，需要假设 为多种曲线拟合然后比较各自的residal （均方误差）越小 者为优，多项式拟合不是拟合次数越高越好，而是残差越小 越好。2.非线性曲线拟合：lsqcurvefitX=ls
5、qcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)X,resnorm=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata)注：其中xdata ydata为给定数据横纵坐标，按照函数 文件fun给定的函数以X0为初值做最小乘二拟合，返 回函数fun中的系数向量X和残差的平方和resnorm。2.1例如已知观测数据：X00J0.203040.5Q60J0.80,9y3.13.273.S14.55.1867.058.569.6911J513.17求三个参数a b c的值是的曲线f (x)=a*ex+b*X2+c*X” 已知数据点在最小二乘意义上充分接近首先编写拟合函数文件funfu
6、nction f=fun(X,xdata)f=X(1)*exp(xdata)+X(2)*xdata.2+X(3)*xdata.3保存文件fun.m编写函数调用拟合函数文件xdata=0：0.1：1；ydata=3.1 3.27 3.81 4.5 5.18 6 .13.17；X0=0 0 0；X,resnorm=lsqcurvefit(fun,X0,xdata,ydata) 运行显示：X=3.00224.03040.9404resnorm=0.0912综上：最小乘二意义上的最佳拟合函数为f(x)=30022x+4.0304x2+09404x3残差平方和：0.0912注：在针对只有一些已测数据而不太清楚最小乘二拟 合函数时，采取先打印出已知数据的散点图，然后观察散点 图大概分布趋向，再确定拟合函数，也可以确定多个，最后 比较残差选择最优最小乘二拟合函数，再者初始值的给定也 很重要。lsqnonlin （fun，X0）:最小二乘拟合函数本讲结束，谢谢！
