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1、20232024年高一下学期期中考试（考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1本试卷分第卷（选择题)和第卷（非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。5考试范围： 平面向量、复数、立体几何为主第I卷（选择题)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1已知集合A=
2、y|y=2x，B=x|x23x+20则( )AAB=BAB=RCABDBA2若复数z满足2z+iz=4+5i，则z在复平面中对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列函数中，在区间(0,+)上单调递减的是( )Af(x)=log12xBf(x)=|x1|Cf(x)=2xDf(x)=x2+x4已知a=1,2,b=1,1，则向量a在b上的投影向量的模长为( )A1B22C55D255函数fx=2sinxsin2x是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数6在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ccosB=2abco
3、sC，则角C=( )A6B3C23D567如图，在边长为2的正方形ABCD中以C为圆心，1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F当点P在劣弧EF上运动时，BPDP的取值范围为( )A122,12B122,1C1,12D122,128如图，已知四棱锥PABCD的底面是边长为2的菱形，O为AC,BD的交点，PO平面ABCD，PBA=ABC=60，则四棱锥PABCD的内切球的体积为( )A62B64C68D616二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9设z为复数（i为虚数单位)，下列命
4、题正确的有( )A若(1+i)z=i，则z=1B对任意复数z1，z2，有z1z2=z1z2C对任意复数z1，z2，有z1z2=z1z2D在复平面内，若M=z|z22，则集合M所构成区域的面积为610对于ABC有如下命题，其中正确的是( )A若sin2A+sin2B+cos2CcosB恒成立D若B=3,a=23,且ABC有两解，则b的取值范围是3,2311如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界)，且B1F/平面A1BE，则下列说法正确的有( )A动点F轨迹的长度为2B三棱锥B1D1EF体积的最小值为13CB1F与A1B不可
5、能垂直D当三棱锥B1D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为252第II卷（非选择题)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知函数fx=ex,x1lnx,x1.若fm=1，则实数m的值为 .13ABC中，AB=2，AC=1，BAC=23，O是ABC的外心，若AO=xAB+yAC，则x= .14已知球O的直径为AB，C，D为球面上的两点，点M在AB上，且AM=3MB，AB平面MCD，若MCD是边长为3的等边三角形，则球心O到平面BCD的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分) 已知复数z=bi（bR)，z21+i是实数，i是
6、虚数单位.(1)求z的值；(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围. 16（15分) 已知向量a=(3,2)，b=(2,1)，c=(3,1)，tR(1)求a+tb的最小值及相应的t值；(2)若atb与c的夹角为钝角，求实数t的取值范围17（15分) 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=a+b+c,sinC，n=(sinAsinB+sinC,3a)，且mn=0(1)求角B的大小；(2)若AD=3DC，BD=1，求ABC的面积的最大值 18（17分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB/CD，PA=AB=2CD=2，ADC=90，E,
7、F分别为PB,AB的中点(1)求证：CE/平面PAD；(2)求点B到平面PCF的距离.19（17分)十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120；当三角形有一内角大于或等于120时，所求点为三角形最大内角的顶点在费马问题中所求的点称为费马点已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，且cosA2cosB=sinC6，点P为ABC的费马点(1)求角B；(2)若b2(
8、ac)2=6，求PAPB+PBPC+PAPC的值；(3)若b=1，求|PA|+|PC|PB|的取值范围参考答案第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=y|y=2x，B=x|x23x+20则（）AAB=BAB=RCABDBA【答案】D【分析】根据指数函数的值域化简集合A的表示，解一元二次不等式化简集合B的表示，最后根据集合的交集和并集的定义、子集的定义进行判断即可.【详解】因为A=y|y=2x=y|y0，B=x|x23x+20=x|1x2，所以AB=x|1x2，故选项A不正确；AB=y|y0R，故选项B不正确；
9、根据子集的定义有BA.故选：D【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算，考查了子集的定义，考查了指数函数的值域，考查了解一元二次不等式，考查了数学运算能力.2若复数z满足2z+iz=4+5i，则z在复平面中对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【分析】设z=a+bi，代入条件根据复数相等求出a,b，进而可得z在复平面中对应的点所在象限.【详解】设z=a+bi，则由2z+iz=4+5i得2abi+ia+bi=4+5i，整理得2ab+a2bi=4+5i，所以2ab=4a2b=5，解得a=1b=2，所以z=12i在复平面中对应的点为1,2，在第四象限.故选：D.3下列函数中，
10、在区间(0,+)上单调递减的是（）Af(x)=log12xBf(x)=|x1|Cf(x)=2xDf(x)=x2+x【答案】C【分析】根据各选项中函数式，直接判断单调性即得.【详解】函数f(x)=log12x在区间(0,+)上单调递增，A不是；函数f(x)=|x1|=x+1,x1x1,x1在(0,1上单调递增，B不是；函数f(x)=2x在(0,+)上单调递减，C是；函数f(x)=x2+x在(0,12上单调递增，D不是.故选：C4已知a=1,2,b=1,1，则向量a在b上的投影向量的模长为（）A1B22C55D25【答案】B【分析】直接根据投影的公式计算即可.【详解】向量a在b上的投影向量的模长为
11、abb=1+22=22.故选：B.5函数fx=2sinxsin2x是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数【答案】B【分析】由函数的奇偶性定义判断函数奇偶性，再运用周期定义式进行检验即得.【详解】因为xR,fx=2sinxsin2x=2sinx+sin2x=fx，所以该函数为奇函数，故C , D 项错误；因为fx+=2sin(x+)sin2(x+)=2sinxsin2x,显然fx+=f(x)在R上不能恒成立，故A , C项错误；又fx+2=2sin(x+2)sin2(x+2) =2sinxsin2x=f(x)，即2是fx=2sinxsi
12、n2x的周期，故B项正确.故选：B.6在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ccosB=2abcosC，则角C=（）A6B3C23D56【答案】B【分析】结合正弦定理边化角、两角和的公式逆用以及诱导公式化简得sinA=2sinAcosC，进一步有cosC=12，由此即可得解.【详解】由ccosB=2abcosC结合正弦定理有sinCcosB=2sinAsinBcosC，即sinCcosB+sinBcosC=sinB+C=sinA=2sinAcosC，因为A(0,),sinA0，解得cosC=12，而C(0,)，所以角C=3.故选：B.7如图，在边长为2的正方形ABCD中以C为圆心，1
13、为半径的圆分别交CD,BC于点E,F当点P在劣弧EF上运动时，BPDP的取值范围为（）A122,12B122,1C1,12D122,12【答案】B【分析】根据给定条件，建立坐标系，设出点P的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数的值域即可.【详解】依题意，以点C为原点，直线DC,BC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，如图，设点P(cos,sin)(2)，而D(2,0),B(0,2)，则BP=(cos,sin+2),DP=(cos+2,sin)，因此BPDP=cos2+2cos+sin2+2sin=1+22sin(+4)，由2，得34+44，则1sin(+4)22，因此1221+22sin(+4)1，所以BPDP的取值范围为122,1.故选：B【点睛】关键点点睛：涉及动点的向量运算
