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1、初中数学竞赛模拟试卷2、选择题（每小题7分，共42分）V、z为有理数.则xyz=（ ）.1 .设7.贝UABC的面积为三、解答题（本题共3小题，第11、12题每题16分，第13题18分，满分60分）11 .解方程：(12x+5)2(6x1)(x+1)=5|.12 .如图，四边形ABCD中，/ACB=/ADB=90,自对角线AC、BD的交点N作NMLAB于点M,线段AC、MD交于点E,BD、MC交于点F,P是线段EF上的任意一点.证明:点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和.13 .矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后,有交结点30个，其中
2、20个点在原矩形的周界上（包括原矩形白四个顶点），其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝（两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示）.试求该矩形台板所碎裂成的各种类型（指三角形、四边形、五边形等）的块数.说明：若凸多边形的周界上有 n个点，就将其看成 n边形，例如，图中的多边形 ABCDE要看成五边形答案1.A.两边平方得3+.2+3+,6=x+y+z+2xy+2.yz+2xz.根据有理数x、y、z的对称性，可考虑方程组x+y+z=3,2xy=.2,2yz=3,2,xz=一6.解得x=1,y=1/2,z=3/2.此时,xyz=3/4.2.B.注意到f(1)=2a+1,f(3)=12a
3、+1,f(f(1)=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(1)=f(3)，得(2a+1)2+(2a+1)=12.所以,2a+1=3或4.因a4（2a+3）.解得a3或a1.又由题设条件知，方程的两根和与积皆负，即一（a+3）0,2a+33,a3/2，即一3a3/2.而a为整数，则a=2.8.72932.x=293是方程x2+3x5=0的根,29.73.记x+y=a2,y=b2,则1巾aw100.而x=a2-b2=(a+b)(a-b)a-b)+2.若ab=1,则a+b为奇数，且3Q+bW9比是,a+b可取3,5,7,，微49个值,这时,相应的x也可取这49个彳1.(2)若ab=2,则a
4、+b为偶数，且4Q+bW5叶是,a+b可取4,6,8,50,24个值,这时,相应的x可取8,12,16,10皿24个值.其他情况下所得的x值均属于以上情形.若ab=奇数，则a+b=奇数.而x=a2-b2a+b3入(1).若ab=偶数，则a+b=偶数.而x=(ab)(a+b)为4的倍数，且ab2a+b4ftx83入(2).因此，这种x共有49+24=73个.10.168.注意至UAB2=(2a)2+482,BC2=(a+7)2+242,AC2=(a-7)2+242.如图，以AB为斜边，向4ABC一侧作直角ABD,使BD=2a,AD=48,/ADB=90.在BD上取点E,使BE=a+7,ED=a7
5、,又取AD的中点F,作矩形EDFC1.因BCj=BE2+ECj=(a+7)2+242=BC2,AC21=C1F2+AF2=(a7)2+242=AC2,故点C与点。重合.而SaABD=48a,SACBD=24a,SzACD=24(a7),则Saabc=SaabdSacbd一Saacd=168.11 .将原方程变形得(12x+5)2(12x2)(12x+12)=660.-5 2 . 15Xi ,2=12令12x+5=t，则t2(t7)(t+7)=660,即t449t2=660.解得t2=60或t2=11(舍去).由此得t=215,即有12x+5=2/15.因此，原方程的根为12 .如图，易知A、B
6、、C、D四点共圆，B、C、N、M四点共圆，因此，/ACD=/ABD=/MCN.故AC平分/DCM.同理,BD平分/CDM.如图，设PHLMC于点H,PGMD于点G,PTCD于点T;过点P作XY/MC,交MD于点X,交AC于点Y;过点Y作YZ/CD,交MD于点Z,交PT于点R;再作YH1XMC于点H1,YTiCD于点Ti.由平行线及角平分线的性质得PH=YH1=YT1=RT.为证PT=PG+PH,只须证PR=PG.由平行线的比例性质得EP/EF=EY/EC=EZ/ED.因此,ZP/DF.由于XYZ与AMCD的对应边分别平行，且DF平分/MDC,故ZP是/XZY的平分线.从而,PR=PG.因此，所
7、证结论成立.13 .设全部碎片中，共有三角形a3个，四边形a4个,k边形ak个(a3,a4,ak为非负整数).记这些多边形的内角和为S角，于是，S角=23x什a42t+ak(k-2)兀另一方面，矩形内部有10个结点，对于每个点，围绕它的多边形顶角和为2兀10个内结点共获得102兀弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点，在每个这种结点处，各多边形的顶角在此汇合成一个平角，16个这种结点共获得16兀弧度;而原矩形的4个顶点处，共获得多边形碎片的2兀弧度.因此$角=20tt+16什2产38兀于是,a3+2a4+-+(k-2)ak=38.记这些多边形的边数和为S边.由于每个n边形有n条边，则S边=3a3+4a4+-Tkak.另一方面，在矩形内部的45条粘缝，每条都是两个多边形的公共边，故都计算了两次；矩形周界上的20条线段各被计算了一次，因此，S边=2X45+20=110.于是，3a3+4a4+Tkak=110.得2(a3+a4+Tak)=72.故a3+a4+ak=36.一得a4+2a5+3a6+-+(k3)ak=2.因所有aKN,故a6=a7=ak=0,a4+2a5=2.所以，或者a4=2,a5=0;或者a4=0,a5=1.综上，本题的解共有两种情况，即全部碎片共36块，其中或含有34个三角形，2个四边形；或含有35个三角形，1个五边形
