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1、第一章集合与充要条件一、集合的概念（一）概念1. 集合的概念：将某些的对象看成一个就构成一个集合，简称为。一般用表示集合。组成集合的对象叫做这个集合的。一般用表示集合中的元素。2. 集合与元素之间关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 aA，记作；如果 a 不是集合 A 的元素，就说aA，记作。3. 集合的分类：含有的集合叫做有限集；含有的集合叫做无限集；的集合叫做空集，记作。（二） 常用的数集：数集就是由组成的集合。1.自然数集：所有组成的集合叫做自然数集，记作；2.正整数集：所有组成的集合叫做正整数集，记作；3.整数集：所有组成的集合叫做整数集，记作；4.有理数集：所有组成的集合叫做有理
2、数集，记作；5.实数集：所有组成的集合叫做实数集，记作。（三） 应知应会：1.自然数：由和构成的实数。2.整数：由和构成的实数。偶数：被 2 整除的数叫做偶数；奇数：被 2 整除的数叫做奇数。3.分数：把平均分成若干份，表示这样的或的数叫做分数。 分数中间的叫做分数线。分数线的数叫做分母，表示把一个物体；分数线的数叫做分子，表示。4.有理数：和统称有理数。5.无理数：的小数叫做无理数。6.实数：和统称实数。二、集合的表示法表 示 法列 举法描 述 法定义将集合中的元素利用元素的来表示表示集合的方法。集合的方法。1. 在中画一条；2. 左侧写上集合的，并标出元素的；（如果上下文中能够明显看出集合
3、中的元素1. 将集合中的元素；为实数，可以不标出元素的取值范具体方法2. 用分隔；围。）3. 用括为一个整体。3. 右侧写出元素所具有的。【注】在使用描述法表示某些集合时，可以用来叙述集合的，再用括起来。优点明确、直接看到集合中的元素。清晰地反映出元素的特征性质。不足能表示的集合有限。抽象，不能直接看出元素。适用类型一般用来表示有限集。一般用来表示无限集。【几个常用集合的表示方法】（一）数集：集合列举法描述法偶数集合正偶数集合负偶数集合奇数集合正奇数集合负奇数集合1（二）点集：在平面直角坐标系中，由 x 轴上所有点组成的集合由 y 轴上所有点组成的集合由第一象限所有点组成的集合由第二象限所有点
4、组成的集合由第三象限所有点组成的集合由第四象限所有点组成的集合三、集合之间的关系集合间的子 集真子集相 等关系一般地，如果集合 B如果集合 B 是集合 A一般地，如果两个集的，并且 A中的元素集合 A合的元素，定义有元的元素，那么把集合 B那么就说这两个集合素属于 B，那么把叫做集合 A 的子集。相等。B 叫做 A 的真子集。符号表示B A（或AB）BA（或 AB）B A（或AB）读作BABA（或 AB）（或 AB）图示1.任何一个集合都是它自身的。明确2.空集是任何集合的；是任何集合的。3.一个集合中有 n 个元素，则它的子集的数目为；真子集的数目为。四、集合的运算（一）交集1.定义：一般地
5、，对于两个给定的集合 A、B，由的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集。2.记作： AB；读作： AB。3. 集合表示： A _ B _ | _ _ 。4. 图示：用阴影表示出集合 A 与 B 的交集。ABAABB5. 性质：由交集的定义可知，对任意的两个集合 A、 B，有（1）AB_ ；（2） A A _, A_ ；（3） A B_ A, A B_ B。（二）并集1.定义：一般地，对于两个给定的集合A、B，由的所有元素组成的集合叫做A与 B的并集。2.记作： AB；读作： AB。3. 集合表示： A _ B _ | _ 。4. 图示：用阴影表示出集合 A 与 B 的并集。ABAABB5. 性
6、质：由并集的定义可知，对任意的两个集合 A、B，有（1） A B _ ；（2） A A _, A_ ；（3） A _ A B, B _ AB 。2（二）补集1. 全集：（1）定义：在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的，这个给定的集合叫做全集。（2）表示：一般用来表示全集。（3） 在研究数集时，经常把作为全集。2.补集的定义：如果集合 A 是全集 U 的，那么，由 U 中A 的所有元素组成的集合叫做 A的补集。3.记作：；读作：。4.集合表示： _ | _5.图示：用阴影表示出集合 A 在全集 U 中的补集。UA6. 性质：由补集的定义可知，对任意的集合A，都有（1）ACU A_；（2
7、）ACU A_；（3） CU (CU A)_ ；（4） CU ( AB)_ ；（5） CU ( AB)_ 。五、充要条件（一）相关概念：1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题。2. 命题的表示方法：使用小写英语字母 p、 q、 r、s 等表示命题。3. 真命题：成立（正确）的命题是真命题。4. 假命题：不成立（错误）的命题是假命题。5. “如果 .，那么 .”命题：一般形式为“如果 p，那么 q”。6. 题设（条件）：“如果”后接的 p。7. 结论：“那么”后接的 q。（二）充要条件：1. 充分条件：“如果 p，那么 q”是命题，而“如果q，那么 p”是命题，则称 p是 q 的充分条件。记作：
8、 pq；读作：由条件p结论 q。2. 必要条件：“如果 p，那么 q”是命题，而“如果q，那么 p”是命题，则称 p是 q 的必要条件。记作： pq；读作：由结论q条件 p。3. 充要条件：如果，并且，那么称 p 是 q 的且条件，简称充要条件。记作： pq；读作： p 与 q。4. 既不充分又不必要条件：如果，并且，那么称 p 是 q 的既不充分又不必要条件。第二章不等式一、比较实数大小的方法（一）实数的大小与正负1.正数零，负数零，正数负数。2.两个正数，绝对值大的数；两个负数，绝对值大的数。3.正数的和为数，负数的和为数。4.同号相乘（除）得数；毅号相乘（除）得数。5.互为相反数的两个数
9、之和为；互为倒数的两个数之积为。（二）数轴1.定义：数轴是一条规定了、的直线。2.意义：数轴上的点与实数是的关系。3.在数轴上，原点所代表的实数是，原点右边的点所代表的实数是数，原点左边的点所代表的实数是数。4.在数轴上，右边的点代表的数总比左边的点代表的数，即，越往右的点代表的数越，越往左的点代表的数越。5. 在数轴上，表示下列数的范围：（1）x 3；（2）x 2；（3） 1 x 3。3（三）比较两个实数大小的方法：比较法。一般地，对于两个任意的实数a 和 b，有ab0_; ab0_; ab0_.区间集合图像(a, b)二、不等式的基本性质1. 对称性： a b2. 传递性： a b, b3. 加法性质： a b a b,。c_ 。_ ；cd_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。 a, b 4. 乘法性质： ab,c0_ ，_ ；ab, c0_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ ；_ab0 , cd0_ _ _ _ _ _ _ _
