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1、无穷级数总结一、 概念与性质1. 定义：对数列，称为无穷级数，称为一般项；若部分和 数列有极限，即，称级数收敛，否则称为发散.2. 性质设常数，则与有相同的敛散性；设有两个级数与，若，则；若收敛，发散，则发散；若，均发散，则敛散性不确定；添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；设级数收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和注：一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定级数收敛的必要条件：；注：级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；若，则未必收敛；若发散，则未必成立二、 常数项级数审敛法1. 正项级数及其审敛法 定义：若，则称为正项级数
2、. 审敛法：（i） 充要条件：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.（ii） 比较审敛法：设与都是正项级数，且，则若收敛则收敛；若发散则发散.A. 若收敛，且存在自然数，使得当时有成立，则收敛；若发散，且存在自然数，使得当时有成立，则发散；B. 设为正项级数，若有使得，则收敛；若，则发散.C. 极限形式：设与都是正项级数，若，则 与有相同的敛散性.注：常用的比较级数：几何级数：；级数：； 调和级数：发散（iii）比值判别法（达郎贝尔判别法）设是正项级数，若 ，则收敛；，则发散注：若，或，推不出级数的敛散.例与，虽然，但发散，而收敛.（iv）根值判别法（柯西判别法）设是正项级数，若，级数
3、收敛，若则级数发散（v）极限审敛法：设，且，则且，则级数发散；如果，而,则其收敛（书上P317-2-（1）注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件2.交错级数及其审敛法定义：设，则称为交错级数.审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数，若且，则收敛.注：比较与的大小的方法有三种：比值法，即考察是否小于1；差值法，即考察是否大于0；由找出一个连续可导函数，使考察是否小于03.一般项级数的判别法：若绝对收敛，则收敛.若用比值法或根值法判定发散，则必发散.三、 幂级数1. 定义：称为幂级数.2. 收敛性 阿贝尔
4、定理：设幂级数在处收敛，则其在满足的所有处绝对收敛反之，若幂级数在处发散，则其在满足的所有处发散 收敛半径（i）定义：若幂级数在点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数，使得当时，幂级数收敛；当时，幂级数发散；称为幂级数的收敛半径.（ii）求法：设幂级数的收敛半径为，其系数满足条件，或，则当时，；当时，当时，注：求收敛半径的方法却有很大的差异前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法（iii）收敛半径的类型A.，此时收敛域仅为一点；B.，此时收敛域为；C.=
5、某定常数，此时收敛域为一个有限区间3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质若幂级数的收敛半径，则和函数在收敛区间内连续若幂级数的收敛半径，则和函数在收敛区间内可导，且可逐项求导，即，收敛半径不变若幂级数的收敛半径，则和函数在收敛区间内可积，且可逐项积分，即，收敛半径不变5.函数展开成幂级数若在含有点的某个区间内有任意阶导数，在点的阶泰勒公式为，记，介于之间，则在内能展开成为泰勒级数的充要条件为.初等函数的泰勒级数（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）；.6. 级数求和幂级数求和函数解题程序（i）求出给定级数的收敛域；（ii）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形
6、式（或易看出其假设和函数与其导数的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数数项级数求和（i）利用级数和的定义求和，即，则，其中根据的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法A.直接法：适用于 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求项和时，除首尾两项外其余各项对消掉（ii）阿贝尔法（构造幂级数法），其中幂级数，可通过逐项微分或积分求得和函数因此四、 傅里叶级数1. 定义定义1：设是以为周期的函数，且在或上可积，则，
7、， 称为函数的傅立叶系数定义2：以的傅立叶系数为系数的三角级数 称为函数的傅立叶级数，表示为定义3：设是以为周期的函数，且在上可积，则以 ，为系数的三角级数 称为的傅立叶级数，表示为2.收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数在区间上满足条件除有限个第一类间断点外都是连续的；只有有限个极值点，则的傅立叶级数在上收敛，且有.3.函数展开成傅氏级数周期函数（i）以为周期的函数：，；注：若为奇函数，则(正弦级数)， ； 若为偶函数，则(余弦级数)， .（ii）以为周期的函数：+，；注：若为奇函数，则(正弦级数)， ； 若为偶函数，则，(余弦级数)， .非周期函数（i）奇延拓：A.为上的非周期函数，令，则除外在上为奇函数，(正弦级数)， ；B. 为上的非周期函数，则令，则除外在上为奇函数，(正弦级数)， .（ii）偶延拓：A.为上的非周期函数，令，则除外在上为偶函数，(余弦级数)，.B.为上的非周期函数，令，则(余弦级数)， .注：解题步骤：画出图形、验证狄氏条件画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性；求出傅氏系数；写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于
