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1、空间几何体的内切球与外接球问题1. 2016全国卷n 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A. 12n32B.yn解析A因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2 3,所以正方体的外接球的半径为寸3,所以球的表面积为 4 n （：3）2= 12 n.2. 2016全国卷川在封闭的直三棱柱 ABC -A1B1C1内有一个体积为 V的球.若 AB丄BC, AB = 6, BC= 8, AA1 = 3,贝U V 的最大值是（）9 n32 nA . 4 nB. 2C . 6 nD.3解析B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r1, / AB丄BC, AB= 6, BC = 8,二
2、8-n+ 61= 10,解得n= 2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r2,3则22= 3，即2=球的最大半径为；，故V的最大值为；nX 3 = 9 n.3. 2016郑州模拟在平行四边形 ABCD中，/ CBA = 120, AD = 4，对角线 BD = 2 3,将其沿对角线BD折起，使平面 ABD丄平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一球面上， 则该球的体积为.答案：203 5n ;解析：因为/ CBA = 120,所以/ DAB = 60,在三角形ABD中，由余弦定理得（2 3尸=42 + AB2 2 X 4ABCOS 60,解得AB = 2,所以AB丄BD.
3、折起后平面 ABD丄 平面BCD，即有AB丄平面BCD，如图所示，可知 A, B, C, D可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC就是四面体ABCD外接球的直径,易知 AC = v- 22 + 42= 2 5,所以球的体积为4. 2016山西右玉一中模拟球O的球面上有四点 S, A , B , C,其中O, A, B, C四点共 面， ABC是边长为2的正三角形，平面 SAB丄平面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大 值为（）A.f B/.3C. 2 .3D. 4选A ;解析（1）由于平面SAB丄平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB 上, 根据球的对称性可知， 当S在
4、“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥S-ABC 的体积最大.因为 ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r = OC= 3CH = fx号X 2 = 233.3323在 Rt SHO 中，OH = 2oC = 33,2 3所以SH=故所求体积的最大值为卜43X 22X 1 =5. 2016赣州模拟如图7-38-19所示，设A, B, C, D为球0上四点，AB , AC, AD两两垂直，且 AB = AC = 3，若AD = R（R为球0的半径），则球 0的表面积为（）图 7-38-19A. n B. 2 n C. 4 n D . 8 n选D ;解析：因为 AB, AC, AD
5、两两垂直，所以以 AB, AC, AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB = AC = 3,所以AE = 6, AD = R, DE = 2R,则有R2 + 6= （2R）2,解得R= 2,所以球的表面积 S= 4 n R2= 8 n .6. 2016安徽皖南八校三联如图所示，已知三棱锥 A-BCD的四个顶点A, B, C, D都在球 O的表面上，AC丄平面BCD , BC丄CD，且AC= 3, BC= 2, CD = ；5,则球 O的表面积A . 12 n B. 7 n解析A 由AC丄平面BCD , BC丄CD知三棱锥 A-BCD可以补成以 AC , BC, CD
6、为三条棱 的长方体，设球 O的半径为R,则有（2R）2= AC2+ BC2+ CD2= 3 + 4 + 5= 12,所以S球=4 n R2= 12 n .7. 2016福建泉州质检已知A, B, C在球O的球面上，AB= 1 , BC= 2,Z ABC = 60, 且点O到平面ABC的距离为2，则球O的表面积为 .答案：20 n 解析在厶ABC中用余弦定理求得 AC = 3,据勾股定理得/ BAC为直 角，故BC的中点O1即为 ABC所在小圆的圆心，则OO1丄平面ABC ,在直角三角形 OO1B 中可求得球的半径 r= ，则球O的表面积S= 4 n r2= 20 n .8. 2016河南中原名
7、校一联如图K38-16所示，ABCD-A1B1C1D1是边长为1的正方体,S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点 S, A1, B1, C1, D1在同一个球面上，则该球的表面积 为（）C.925 厂 4981A nB.二 nC nD.二 n16 16 16 16OG2,选D;解析如图所示作辅助线，易知球心 O在SG1上，设OG1 = x，则OB1= SO= 2B1G1= 2，则在 只也OB1G1中，由勾股定理得 OB1= G1B2 +2，解得x= 7，所以球的半径 R= 2-7= 9，所以球的表面积 S= 48 8 8同时由正方体的性质知即(2 - x)2 = x2+nR281=n .1650
8、0 n 3A.-cm31 372 n 3 C.3 cm39. 2013课标全国I 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm,将一 个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为866 n 3B.-3 cmD.3 cm3即OBA解析：设球半径为R,由题可知R, R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,为直角三角形，如图.BC= 2, BA= 4, OB = R 2, OA = R,由 r2= (R 2)2+ 42,得 R= 5,4500所以球的体积为3冗 53= 3 n (cr3)，故选A项.10. 已知正四棱锥的侧棱
9、与底面的边长都为3 .2，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A . 12 n B . 36 n C . 72 n D . 108 n选B;解析：依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3 2 X 2 = 6 ,高为3 2 2 ；X 6 2= 3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3,所以其外接球的表面积等于4nX 32= 36 n.11. 2014石家庄质检一距离是球半径的一半，且已知球O,过其球面上 A、B、C三点作截面，若 O点到该截面的AB = BC= 2，/ B = 120 则球 O的表面积为（）16 n64 n 8 nA.
10、V B.亍 C. 4 n D. 9oB解析：如图，球心0在截面ABC的射影ABC的外接圆的圆心 O.由题意知OOuR2 , OA = R,其中R为球O的半径.在 ABC中,AC= AB2+ BC2-2AB BC cos120 + 22- 2X 2X 2X1-2 = 2 3.设疋的外接圆半径为r，则2r=snCo菁4得=2，即o a=2.在岚ooia2中，OO2+ OiA2= OA2,即卩牛+ 4= R2,解得R2= 16，故球O的表面积S= 4 tR2=晋：故选A.答案：A12. 2014 郑州模拟在三棱锥 A-BCD 中，AB= CD = 6, AC = BD = AD = BC = 5,则
11、该三棱锥的外接球的表面积为 .解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，a2+ b2= 62,设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c,且其外接球的半径为R,贝Ub2 + c2= 52,得c2 + a2= 52,a2 + b2 + c2= 43,即（2R）2= a2 + b2 + c2 = 43,易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4 tiR2= 43 n.答案：43 n13. 2014 全国卷正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2,则该球的表面积为（）81 n27 nA. - B . 16 n C . 9 n
12、 D. -4 4答案：A ;解析如图所示，E为AC与BD的交点因为正四棱锥的底面边长为2,所以AE = 2AC= 2设球心为0,球的半径为 R,则OE = 4-R, OA = R.又因为 AOE为直角9三角形，所以 OA2= OE2+ AE2,即R2= （4 R）2 + 2,解得R=,，所以该球的表面积 S= 4 n4R2= 4 n14.积为（则这个几何体外接球的表面A . 8 n B . 16 n C . 32 n D . 64 n答案：C;解析该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半 径为2寸2，表面积为4nX （2寸2）2= 32 n .15. 已知四棱锥 S -A
13、BCD的所有顶点在同一球面上，底面 ABCD是正方形且球心 O在此平 面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16+ 16.3，则球O的体积等于（ ）4 ,，2 n16.2 n 322 n642 nA. 3 B. 3 C. 3 D. 3答案：D;解析由题意，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥设球O的半径为R,贝U AC = 2R,SO=R, AB =2R,则有（2R）2+ 4X ； X2R +R2 =16+ 13,解得 R= 22，球 O 的体积是 3 n R3=冗.16. 2016 武汉调研已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB= AC =AA1= 2，/ BAC = 90 ,则该球的体积等于 .答案：4 3 n;解析设该球的球心为 O,A ABC所在圆面的圆心为 O1，则001丄 平面ABC且OO1= 1在 ABC中，因为AB = AC= 2,Z BAC = 90，所以 ABC外接圆的 半径r = ；BC =AB2+ AC2=2,所以该球的半径R=r2+O1O2 =（专2）2+ 12=3,4L所以该球的体积 V= 4 n R3= 4 3 n 32 048 n 3
