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1、实验4傅立叶光学的空间频谱与空间滤波实验一、实验目的1、了解透镜的傅里叶变换性质，加深对空间频率、空间频谱和空间滤波等 概念的理解。2、熟悉阿贝成像原理，从信息量的角度理解透镜孔径对分辨率的影响。3、完成一维空间滤波、二维空间滤波及高通空间滤波。 二、实验原理1873 年阿贝(E.Abbe)首先提出显微镜成像原理以及随后的阿贝一波特空 间滤波实验，在傅里叶光学早期发展史上做出重要的贡献。这些实验简单、形象，令人信服，对相干光成像的机理及频谱分析和综合原理做出深刻的解释，同时这种用简单的模板作滤波的方法一直延续至今，在图像处理技术中仍然有广泛的应用价值。1、二维傅里叶变换和空间频谱在信息光学中常
2、用傅里叶变换来表达和处理光的成像过程。设在物屏X-Y平面上光场的复振幅分布为g (x, y)，根据傅里叶变换特性，可以将这样一个空 间分布展开成一系列二维基元函数 expi2n(fxx + fyy)的线性叠加，即-be g(x, y)= fG(fx，fy)expi2n(fxX + fyy)dfxdfy(1)式中fx、fy为x、y方向的空间频率，即单位长度内振幅起伏的次数，G(fx, fy)表示原函数g (x, y)中相应于空间频率为f x、f y的基元函数的权重，亦即各种 空间频率的成分占多大的比例，也称为光场(optical field ) g (x, y)的空间 频谱。G (fx、fy)可
3、由g (x, y)的傅里叶变换求得-be G(fx,fy)： I ig(x, y)exp-i2二(fxx fyy)dxdy(2)g (x, y)与G (fx, fy)是一对傅里叶变换式，G (fx, fy)称为g(x, y)的傅里 叶的变换，g(x, y)是G (fx, fy)的逆变换，它们分别描述了光场的空间分布及 光场的频率分布，这两种描述是等效的。当g(x, y)是空间周期函数时，空间频率是不连续的。例如空间周期为x0的一维函数g(x),即g(x)=g (X+Xo)。描述空间周期为X0的一维光栅时，光栅面上 光振幅分布可展成傅里叶级数g(x): G Gn exp(i2 fnX);，Gn
4、exp(i 2二M)(3)上式中，n = 0, 1, 2, ; fo=1/xo ,称为基频；fn=nfo,是基频的整数倍频，称为n次谐波的频率。G是g(x)的空间频率，由傅里叶变换得1 xo/2Gn = g(x) exp(-i2 :nfox)dx(4)x0 -x0/22、透镜的二维傅里叶变换性质在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。 理论 证明，若在焦距为F的正透镜L的前焦面(X-Y面)上放一光场振幅透过率为g(x, y)的物屏，并以波长为的相干平行光照射，则在L的后焦面(X -Y 面)上就得到g(x, y)的傅里叶变换，即g(x, y)的频谱，此即夫琅禾费衍射情况。其
5、 空间频谱F ，4=0FFx yxyG(,) =g(x, y)exp-i2r:(-x + y)dxdy (5)1F F第：F F其中空间频率fx、fy与透镜像方焦面(频谱面)上的坐标有如下关系fx=x77Ffy=y/?F(6)显然，g(w,)就是空间频率为(x,y)的频谱项的复振幅，是物的复 F FF F振幅分布的傅里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象 的函数演算变成了实实在在的物理过程。由于X,上分别正比于x , y ，所F F以当、F一定时，频谱面上远离坐标原点的点对应于物频谱中的高频部分，中 心点x =y =0, f x=fy = 0对应于零频。3、阿贝成像原理现在
6、我们知道，物体应该看成是大量空间信息的集合体，光信息处理涉及的 空间信息的频谱不再是一个抽象的数学概念，它是展现在透镜焦平面上的物理实 在。然而当初，最先把物体看成是大量空间信息的集合体的是阿贝。1873年，德国人阿贝在研究显微镜设计方案时，提出了空间频率、空间频谱及二次衍射成像的概念，并进行了相应的实验研究。他认为：在相干光照明下， 显微镜的成像可分为两个步骤。第一步是通过物的夫琅禾费衍射，在物镜后焦面 上形成一个衍射图样，第二步是这些衍射图样发出的子波相干涉， 在像平面上相 干迭加形成物的像，通过目镜可以观察到这个像。图1是阿贝成像原理示意图，图中物 G是正弦振幅透射光栅，成像的第一步 是
7、光栅的夫琅禾费衍射。在 G上取代表正弦光栅中的某些透光缝 A B、C,由正 弦光栅透出的所有方向的光中，经计算知，只有三个方向的平行光是彼此相长地 相干，会聚于焦平面F上，形成f+i、fo和f-io第二步，把这些衍射图样f+1、fo 和f-i看成是相干的子波源，这三列波在像平面 H上相干迭加，就得到正弦光栅 的像。图1阿贝成像原理成像的这两步骤本质上就是两次傅立叶变换，如果物的振幅分布是g(x,y),可以证明在物镜后面焦面x, y上的光强分布正好是g(x,y)的傅立叶变换G(fxfy)。(只要令fx=, fy=E,九为波长,F为物镜焦距)。所以第一步F F骤起的作用就是把一个光场的空间分布变成
8、为：空间频率分布；而第二步骤则是又一次傅氏变换将G(fxfy)又还原到空间分布。按频谱分析理论，谱面上的每一点均具有以下四点明确的物理意义：（ 1）谱面上任一光点对应着物面上的一个空间频率成分。（ 2） 光点离谱面中心的距离， 标志着物面上该频率成分的高低， 离中心远的点代表物面上的高频成分， 反映物的细节部分。 靠近中心的点， 代表物面的低频成分， 反映物的粗轮廓。 中心亮点是0 级衍射即零频， 反映在像面上呈现均匀背景。（ 3） 光点的方向， 指出物平面上该频率成分的方向， 例如横向的谱点表示物 面有纵向栅缝。（ 4）光点的强弱则显示物面上该频率成分的幅度大小。由以上定性分析可以看出， 阿
9、贝的二次成像理论的第一次衍射是透镜对物作空间傅里叶变换，它把物的各种空间频率和相应的振幅一一展现在它的焦平面上。 一般情况下， 物体透过率的分布不是简单的空间周期函数， 它们具有复杂的空间频谱， 故透镜焦平面上的衍射图样也是极复杂的。 第二次衍射是指空间频谱的衍射波在像平面上的相干迭加。 如果在第二次衍射中， 物体的全部空间频谱都参与相干迭加成像， 则像面与物面完全相似。 如果在展现物的空间频谱的透镜焦平面上插入某种光学器件（称之为空间滤波器） ，使某些空间频率成分被滤掉或被改变， 则像平面上的像就会被改变， 这就是空间滤波和光学信息处理的基本思 想。在实际光学成像系统中， 像和物不可能完全一
10、样。 这是由于透镜的孔径是有限的，总有一些衍射角比较大的高次光线（高频信息）不能进入物镜而被丢掉。所以像的信息总是比物的少些。 由于高频信息主要反映物的细节， 因此， 无论显微镜有多大的放大倍数， 也不可能在像面上分辨出这些细节。 这是限制显微镜分辨本领的根本原因。 当物镜孔径极其小时， 有可能只有零级衍射通过物镜， 这时 像面上有亮的均匀背景而无像分布。4、空间滤波和光信息处理光信息处理是通过空间滤波器来实现的， 所谓空间滤波器是指在图 1 中透镜的后焦平面上放置某种光学元件来改造或选取所需要的信息，以实现光信息处理。这种光学器件称为空间滤波器。巴9画山(a)低通(b)高通(c)带通(d)方
11、向图2空间滤波器图2给出了几种常用的空间滤波器。(a)低通滤波：目的是滤去高频成分，保留低频成分。由于低频成分集中 在谱面的光轴(中心)附近，高频成分落在远离中心的地方，经低通滤波后图像 的精细结构将消失，黑白突变处也变得模糊。(b)高通滤波：目的是滤去低频成分而让高频成分通过，其结果正好与低 通滤波相反，使物的细节及边缘清晰。(c)带通滤波：根据需要，有选择的滤掉某些频率成分。(d)方向滤波：只让某一方向，例如纵向的频率成分通过，则像面上将突 出了物的横向线条。假如用一块二维矩形光栅作为物，二维矩形光栅的空间结构分布如图 3 (a), 将其放在图1的G处，由于它的振幅透射率是二维周期函数，
12、因此它的空间频谱 也应该是二维的，用fx, fy表示。当用平行光照射二维矩形光栅时，在图 1中透 镜的焦平面F上将显示出二维光栅的频谱，如图 3 (b)0假如用一块有狭缝的屏 作空间滤波器，将狭缝沿 Y轴竖直放置在图1中的F面上，它将挡掉图3 (b) 中所有的fx,仅保留fy,如图3 (c),此时在像平面H上的像将如图3 (d)所示。 若用类似于图3 (d)的一维光栅代替二维光栅放在图1的G处，则在图1的F和H面上也得到上述同样的像。这就是说，图 3 (c)中的这条狭缝把二维光栅 的像处理成一维光栅的像了。若将狭缝水平放置，它将滤掉图3 (b)中所有的fy,透镜的焦平面F上保留的频谱和像平面H
13、上成的像将如图3 (e)所示。如果 让狭缝45 倾斜地放置在F面上，那么透镜的焦平面 F上保留的频谱和像平面 H上成的像将如图3 (f)所示。这表明用一条狭缝作滤波器，当其取向不同时， 可将二维光栅的物处理成上述各种方位的一维光栅的像。以上是采用滤波器进行光信息处理的最简单的实例，这类滤波器从物体的全 部空间信息中选出所需要的部分，从而实现对物体信息的处理，获得由物体的部 分空间信息所构成的像。三、实验仪器光学导轨，He-Ne激光器，薄透镜若干，滤波器(方向，低通各一)，光栅(正 交)，网格字，白屏，毛玻璃，直尺。四、实验步骤与内容1.共轴光路调节(1)在光具座上将小圆孔光阑靠近激光管的输出端
14、，上、下、左、右调节激 光管，使激光束能穿过小孔；然后移远小孔，如光束偏离光阑，调节激光管的仰 俯，再使激光束能穿过小孔，重新将光阑移近，反复调节，直至小孔光阑在光具 座上平移时，激光束均能通过小孔光阑。记录下激光束在光屏上的照射点位置。(2)调整个器件高度，使激光器、显微物镜(扩束镜)、准直透镜、正交光栅、 双凸透镜处于同一水平高度。(在做以后的实验时，都要用透镜，调平激光管后， 激光束直接打在屏Q上的位置为O,在加入透镜L后，如激光束正好射在L的光 心上，则在屏Q上的光斑以O为中心，如果光斑不以O为中心，则需调节L的高 低及左右，直到经过L的光束不改变方向(即仍打在O上)为止；此时在激光束
15、处 再设带有圆孔P的光屏，从L前后两个表面反射回去的光束回到此 P上，如二个 光斑套准并正好以P为中心，则说明L的光轴正好就在P、O连线上。不然就要 调整L的取向。如光路中有几个透镜，先调离激光器最远的透镜，再逐个由远及 近加入其他透镜，每次都保持两个反射光斑套准在 P上，透射光斑以O为中心， 则光路就一直保持共轴。)(3)调整准直透镜与显微物镜(扩束镜)之间的距离，使用白屏观察准直后的光斑，光斑在近处和远处直径大致相等(一般以图像的直径为38.5mm左右为宜)。注：此时应将显微物镜小口径端作为激光入射方向。激光器 扩束镜L12.解释阿贝成像原理实验(波特实验) G是空间频率为每毫米几十条的二维的 正交光栅，在实验中作为物。L是焦距为 150mm勺透镜，移动白屏使正交光栅在白 屏上成放大的像。(2)调节光栅，使像上条纹分别处于 垂直和水平的位置。这时在透镜后焦面 上观察到二维的分立光点阵，这就是正 交光栅的夫琅和费衍射(即正交光栅的 傅里叶频谱)，而在像平面上则看到正交 光栅的放大像(如图5(a)。(3)如在F面上设小孔光阑，只让一 个光点通过，则输出面上仅有一片光亮 而无条纹(如图5(b)。换句话说，零级 相应于直
