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1、第 10 讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。例 1 五年级一班有 45 名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有 25 人，报篮球班的有 20 人，报游泳班的有 30 人，足球、篮球都报者有 10 人，足球、游泳都报者有 10 人，足球、篮球都报者有 12 人。请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记 AB 为圆 A 与 圆 B 公共部分的面积，BC 为圆 B 与圆 C 公共部分的面积，AC 表示圆 A 与圆 C 的公共部分的面积， x 为阴影部分的面积则图形盖住
2、的面积为：A+B+C-AB-BC-AC+X。请同学们注意：阴影部分的面 积先加了 3 次，然后又被减了 3 次，最后又加了 1 次。解答：设三项都报的有 x 人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得 x=2。答：三项都报名的有 2 人。说明：在“A+B+C-AB-BC-AC+X”式中，A，B，C，AB，BC，AC，x 和总量这 8 个数中， 只要知道了 7 个数，就可通过列方程求出第 8 个数。例 2 从 1 至 1000 这 1000 个自然数中，不能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有多 少个？分析：第一步先求出：能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数
3、一共有多少个？第二步再求出： 不能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被 3 整除的自然数的个数+能被 5 整除的 自然数的个数+能被 7 整除的自然数的个数（既能被 3 整除又能被 5 整除的自然数的个数+既能被 3 整除又能被 7 整除的自然数的个数+既能被 5 整除又能被 7 整除的自然数的个数）+能同时被 3、5、7 整除的自然数的个数=能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数的个数。解答：能被 3 整除的自然数有多少个？10003=3331有 333 个。能被 5 整除的自然数有多少个？ 10005=200能被 7 整除的自然数有多少个？ 10007=1426有
4、 200 个。有 142 个。既能被 3 整除又能被 5 整除的自然数有多少个？100015=6610有 66 个。既能被 3 整除又能被 7 整除的自然数有多少个？100021=4713有 47 个。既能被 5 整除又能被 7 整除的自然数有多少个？100035=2820有 28 个。能同时被 3、5、7 整除的自然数的个数有多少个？1000（357）=955有 9 个。能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有： 333+200+142（66+47+28）+9=457 个。1所以不能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有：1000543=457例 3 某个班的全体学生进行了短
5、跑、游泳、篮球三个项目的测试，有 4 名学生在这三个项目 上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。这部分达到优秀的项目、人数如下表：短跑17游泳18篮球15短跑游泳6游泳篮球6篮球短跑5短跑、游泳、篮球2请问：这个班有多少名学生？分析：本题是较复杂的容斥原理的题目，可以画一个长方形表示全班学生，再画三个相交的圆分 别表示短跑、游泳、篮球得优秀的学生。注意计算短跑人数+游泳人数+篮球人数时，短跑游泳人数、 游泳篮球人数、篮球短跑人数分别被算过两次，而短跑游泳篮球人数则被计算了 3 次。解答：至少一项优秀人数=短跑人数+游泳人数+篮球人数-（短跑游泳人数+游泳篮球人数+篮球短 跑人数）+
6、短跑游泳篮球人数=17+18+15-（6+6+5）+2=35 所以 全班人数=至少一项优秀人数+未得 优秀人数=39。说明：本题解中的公式是三个不同集合相互相交而得的问题所用的容斥原理公式，本题也可依次 计算图中每一小块所代表的集合的人数最后再求和。如图所示，图中分成 8 个部分：G=短跑游泳篮球三项优秀人数=2D=只有短跑游泳两项优秀人数=短跑、游泳优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=6-2=4E=只有游泳篮球两项优秀人数=游泳、篮球优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=6-2=4F=只有篮球短跑两项优秀人数=篮球、短跑优秀人数-短跑游泳篮球三项优秀人数=5-2=3A=只有短跑一项优秀人数=短
7、跑优秀人数-（D+G+F）=17-（4+2+3）=8B=只有游泳一项优秀人数=游泳优秀人数-（D+G+E）=18-（4+2+4）=8C=只有篮球一项优秀人数=篮球优秀人数-（E+G+F）=15-（4+2+3）=6H=三个项目均未达到优秀人数=4；所以 A+B+C+D+E+F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39例 4 如下图，在长方形 ABCD 中，AD=15 厘米，AB=8 厘米，四边形 OEFG 的面积是 9 平方厘米。 请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？分析：注意到三角形 ABD、三角形 ACD 面积的和比所求的阴影部分多算了三角形 AED 与三角形 DOG 面积的和，而这两个
8、三角形的面积和可由三角形 AFD 的面积减去四边形 OEFG 的面积得到，这样就可以 求出阴影部分的总面积。解答：三角形 ABD、三角形 AFD、三角形 ACD 都可以 AD 为底，AB 为高，故它们的面积都等于 AD AB2=1582=60（平方厘米）。阴影部分面积=（三角形 ABD 面积+三角形 ACD 面积）（三角形 AFD 面积-四边形 DEFG 面积）=（60+60）-（60-9）=69（平方厘米）。说明：本题还有其它（例 3 的第 2 中方法）的方法，请你想一想。例 5 某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学 20 人，语文 20 人，英语 20 人， 数学、英语两科都是
9、优秀成绩的有 8 人，数学、语文两科成绩都是优秀的有 7 人，语文、英语两科成 绩都是优秀的有 9 人，三科都没得优秀成绩的有 3 人。请问：这个班最多有多少人？最少有多少人？2分析：如下图，数学、语文、英语得优秀成绩的的同学都包含在这个班中，设这个班有 y 人，用 长方形表示.A、B、C 分别表示数学、语文、英语得优秀成绩的的人，由已知有 AC=8，AB=7，B C=9，ABC=X.解答：由容斥原理有Y=A+B+C-AB-AC-BC+ABC+3即 y=20+20+20-7-8-9+x+3=39+x。以下我们考虑如何求 y 的最大值与最小值。由 y=39+x 可知，当 x 取最大值时，y 也取
10、最大值；当 x 取最小值时，y 也取最小值。因为 x 是数 学、语文、英语三科都得优秀成绩的人数，所以他们中的人数一定不超过两科得优秀成绩的人数，即 x=7，x=8 且 x=9，由此我们得到 x=7.另一方面数学得优秀成绩的的同学有可能语文都没得优秀成绩的， 也就是说也有这种可能：没有三科都得优秀成绩的的同学，故 x=0，故 x =0 或 x=7。当 x 取最大值 7 时，y 有最大值 397=46，当 x 取最小值 0 时，y 有最小值 390=39。答：这个班最多有 46 人，最少有 39 人。例 6 五年级 2 班有 46 名学生参加三项课外兴趣活动，其中 24 人参加了数学小组，20
11、人参加 了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍，又是三项活动都 参加人数的 7 倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人数的 2 倍，既参加数学小 组又参加语文小组的学生有 10 人。请问：参加文艺小组的学生有多少人？分析：这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来看，在容斥 原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。因而必须先求出这个三项活动都参加 人数。再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。解答：设三项活动都参加人数为 x，根据题意得参加文艺小组的人数为 7x，既参加数学小组又参 加文艺小组
12、的人数为 7x3.5=2x，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为 2x。根据容斥原理可以得 到下面等式：24+20+7x-（2x+2x+10）+x=464x=16x=3 人所以：7x=21 人。所以：参加文艺小组的学生有 21 人。说明：在很多问题中涉及一个基准量，经过分析找到这个基准量后，问题便可以解决。阅读材料“1 名数学家=10 个师”的由来第二次世界大战中，美国曾经宣称：一名优秀的数学家的作用超过10 个师的兵力。你可知这句话 的由来吗？1943 年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无 力增派更多的护航舰，一时间，德军的潜艇战搞得盟军焦头烂额。
13、为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌 潜艇相遇是一个随机事件，按数学角度来看这一问题，它有一定的规律。一定数量的船（如 100 艘） 编队规模越小，编次就越多（如每次 20 艘，就要有 5 个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大。 比如 5 位同学放学都回自己家里，老师要找一位同学的话，随便去哪家都行，但若这 5 位同学都在其 中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有 20%。美国海军接受了数学家的建议， 命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰 队遭袭被击沉的概率由原来的 25
14、%降低为 1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。3练习题1如下图，长方形长为 4 厘米，宽为 3 厘米，请你求出四边形 GHEF 的面积。分析与解答：所求四边形四条边的长都不知道，我们还不会直接求它的面积.由于所求四边形面积 与 4 个三角形面积之和等于长方形面积，我们可以利用容斥原理把不规则图形 HEFG 的面积转化为求规 则图形的面积。S =S -SHEFG ABCD AHE EBF CFG GDH=7（平方厘米）2在边长是 10 厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后，成为一个宽度为 1 厘米的方框，把 5 个这样的方框放在桌面上（如下图）。请你算一算：桌面被这些方框所盖住的面积是
15、多少平方厘米？分析：观察图，可知重叠部分相当于 8 个边长 1 厘米的正方形。解答：（102-82）5-128=172（平方厘米）3张宏、王刚、李立三人练习投篮球，一共投了 100 次，有 43 次没投进，已知张宏和王刚一共 投进了 32 次，王刚和李立一共投进了 46 次，王刚投进了多少次？分析与解答：三人投的总次数减去没投进的次数，就是三人共投进 100-43=57 次。张宏和王刚、 王刚和李立共投进的次数为 32+46=78 次，这是三人共投进的次数，在加上王刚投进的次数，从中减去 共投进的次数，就是王刚投进的次数，列式为 78-57=21 次，所以王刚投进了 21 次。答：王刚投进了 21 次。4育新小学举行各年级学生画展，其中有 18 幅画不是六年级的，20 幅画不是五年级的。现在知 道五、六年级共展出 22 幅画，请问：其他年级共展出多少幅画？分析与解答：其中 18 幅
