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1、一精诚凝聚7=成就梦想勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）babaacb做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为b a、b,斜边长为c.aa/X/ /Zba 靄点亮心灯/(AvA)照亮人生 再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即2 2 1 2 1a2 b2a b 4 ab 二 c 4 ab22，整理得【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角ab形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三
2、点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtA HAE 也 Rt EBF, / AHE = / BEF. / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o 90o= 90o.四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2. RtA GDH 也 RtA HAE, / HGD = / EHA. / HGD + / GHD = 90o, / EHA + / GHD = 90o.又 / GHE = 90o,(a + b )2 / DHA = 90o+ 90o= 180o.ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于a2
3、 b2 二 c2【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（ba）,以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角1 ab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状RtA DAH 也 RtA ABE,/ HDA = / EAB./ HAD + / HAD = 90 o,/ EAB + / HAD = 90o,ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90o.电2EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于 ba .1-224 ab 亠b - a c2 .2丄22/. a +b =c【证法4】（1876年美国总统 G
4、arfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2 在一条直线上. RtA EAD / ADE = / AED + / AED +.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使也 RtA CBE, / BEC./ ADE = 90o, / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90o. A DEC是一个等腰直角三角形,A、*三占八、1 2 c它的面积等于2.又 / DAE = 90o, / EBC = 90o, AD / BC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于AAA2(a+b2 笃ab+?c2a2 b2=c2【证法5】
5、（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F在一条直线上.过C作AC 的延长线交DF于点P. D、E、F 在一条直线上，且 RtA GEF 也 RtA EBD, / EGF = / BED, / EGF + / GEF = 90, / BED + / GEF = 90,a bHEcPbcD / BEG =180o 90o= 90o.又 AB = BE = EG = GA = c , ABEG是一个边长为c的正方形. / ABC + / CBE = 90o. RtA ABC 也 RtA EBD, / ABC
6、 = / EBD. / EBD + / CBE = 90o.即 / CBD= 90o.又 / BDE = 90o,Z BCP = 90o,BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则2 2 1a b = S 2 ab, 22 1 c = S 2 ab2 ,a2 +b2 =c2.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （ba），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP/ BC,交AC于点P. 过点B作B
7、M丄PQ,垂足为M ;再过点F作FN丄PQ,垂足为N. / BCA = 90o, QP / BC, / MPC = 90o, BM 丄PQ, / BMP = 90o, BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90o. / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o, / QBM = / ABC ,又 / BMP = 90o,Z BCA = 90o, BQ = BA = c , RtA BMQ 也 RtA BCA.同理可证Rt A QNF也Rt A AEF.从而将问题转化为 【证法4】（梅文鼎证明）【证法7】（欧几里得证明）做三个边
8、长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、一精诚凝聚7=成就梦想B三点在一条直线上，连结BF、CD.过 C 作 CL 丄 DE, 交AB于点M，交DE于点L. AF = AC, AB = AD, / FAB = / GAD , FAB 也 GAD ,1 2a FAB的面积等于2, GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，矩形ADLM的面积=a2. 同理可证，矩形 MLEB的面积=b2.正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积 c2=a2+b2，即 a2+b2=c2.BC的长度分别为a、b,斜边AB的BC2 =BD * AB . 即 a2 +b2 =
9、c2.【证法8】（利用相似三角形性质证明） 如图，在Rt ABC中，设直角边AC、 长为c,过点C作CD丄AB，垂足是D.在厶ADC和厶ACB 中, / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC , ADC s ACB.AD : AC = AC : AB ,即 AC2=ADAB.同理可证， CDB s ACB，从而有2 2 2AC BC WAD DB AB =AB【证法9】(杨作玫证明)做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b (ba)，斜边 长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF 丄AC , AF交GT于F, AF交D
10、T于R.过B作BP丄AF，垂足为P.过D作DE 与CB的延长线垂直，垂足为 E, DE交AF于H. / BAD = 90o,Z PAC = 90o,./ DAH = / BAC.又 / DHA = 90o,Z BCA = 90o, AD = AB = c ,.RtA DHA 也 Rt BCA.DH = BC = a, AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形, 所以 RtAAPB 也 Rt BCA.即 PB = CA = b, AP= a,从而 PH = b a.RtA DGT 也 RtA BCA ,RtA DHA 也 Rt A BCA.RtA DGT 也 RtA DHA . D
11、H = DG = a，/ GDT = / HDA . 又 / DGT = 90o,/ DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一个边长为a的正方形.GF = FH = a . TF丄 AF , TF = GT GF = ba . TFPB是一个直角梯形，上底 TF=ba,下底BP= b,高FP=a + （b a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为2c 二 S|S2S3S4S5b2ab21S8S3 S4 b b-ahlab-al2S5-S8S9 靄点亮心灯/(AvA)照亮人生 2 1. S3
12、S4 二 b -ab - S8= b2 -S -S8把代入，得2 2c = SiS2 b - Si - S8S8S9=b2 S2S9b2+ a22 2 2a b-c【证法10】（李锐证明设直角三角形两直角边的长分别为 a、b （ba），斜边的长为c.做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G三点在一条 直线上.a、又又用数字表示面积的编号/ TBE = / ABH = 90o, / TBH =/ BTH = / BEA = 90o, BT = BE = b,RtA HBT 也 RtA ABE. HT = AE = a.GH = GT HT = ba./ GHF
13、 + / BHT = 90o, / DBC +/ GHF =（如图）./ BHT = / TBH + / BHT / DBC.DB = EB ED = ba, / HGF = / BDC = 90o,.RtA HGF 也 Rt A BDC.即 S7 = S2.过Q作QM丄AG，垂足是 M .由/ BAQ = / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM，而 AB = AQ = c，所以 Rt A ABE 也 RtA QAM .又 RtA HBT 也 Rt A ABE.所以 Rt A HBT 也 RtA QAM .即 S8 二 S5.由 RtA ABE 也 Rt A QAM，又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE.一精诚凝聚7=成就梦想 / AQM + / FQM = 90o,/ BAE + / CAR = 90o,/ AQM = / BAE , / FQM = / CAR.又/ QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a ,RtA QMF 也2 cRtAARC.即 S4 f .2 2=S1 S2 S3 S4 S5 a = S1 S6 b = S3 S7 S8又S = S2S8 = S5S4 = S6? ? ?22a b = Si S6S3 S7S8S-iS4 S3 S2S5即 a2 +b2 =c2.
