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1、平面向量的数量积及平面向量的应用1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a及b是具有共同始点的两个非零向量,其夹角满足:0180,我们把|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=.其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:ab=ba，(a)b=(ab)，(ab)c=acbc.2.平面向量数量积的重要性质.|a|=;cos=;|ab|a|b|,当且仅当a,b共线时取等号.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:|a|=;cos=;|x1x2+y1y2|3.两向
2、量垂直的充要条件若a,b均为非零向量,则:abab=0.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.4.向量的模及三角不等式|a|2=aa或|a|=;|ab|a|b|;|a|2-|b|2=(a+b)(a-b);|ab|=(为a,b夹角);|a|-|b|ab|a|+|b|.5.三角不等式的推广形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.小练习一【例1】 计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC边长为1,且=a,=b,=c,求ab+bc+ca;(2)已知a、b、c是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求r=a+b+c的长度以及它和a,b,
3、c的夹角;(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求a、b的夹角;(4)已知|a|=2,|b|=5,a,b的夹角是,p=3a-b,q=a+17b,问系数取向值时，pq.【解前点津】 (1)利用x2=xx,通过对(a+b+c)2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于的方程，解之即得.【规范解答】 (1)(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=3-2(ab+bc+ca)=0ab+bc+ca=.(2)cosr,a=,|r|=且r2=(a+b+c)2
4、=a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=14-2(ab+bc+ca)=14.|r|=cosr,a=;cosr,b= ;cosr,c= .(3)由条件:(a+3b)(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16ab=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30ab=0|a|2=|b|2=2ab(|a|b|)2=4(ab)2.由cosa,b=得: a,b=;由cosa,b=-得: a,b=.(4)令pq=0得:(3a-b)(a+17b)=03|a|2-17|b|2+(51-)ab=0 将|a|=2,|b|=5,ab=|a|b|cos代入得34-1725+(51-)(-5)=0解
5、之:=40.【解后归纳】 综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.【例2】 在ABC中,=(2,3),=(1,k),且ABC的一个内角为直角，求k的值.【解前点津】 因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.【规范解答】 当A=90时,因为=0,21+3k=0,k=-.当B=90时,=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3)=0,2(-1)+3(k-3)=0k=.当C=90时,=0,-1+k(k-3)=0,k2-3k-1=0k=.k的取值为:-,或.【例4】 已知平行四边形以a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边.(1)求它的边长和内角;(2)求它的
6、两对角线的长和夹角.【解前点津】 利用内积的有关运算性质.【规范解答】 (1)|a|=,|b|=cos=,=-arccos.(2)|a+b|=,|a-b|=.cos=.【解后归纳】 本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.小练习二一、基础夯实1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是 ( )A.60 B.30 C.135 D.452.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为,则向量m=a-4b的模为 ( )A.2 B.2 C.6 D.123.a,b是两个非零向量,(a+b)2=a2+b2是ab的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.
7、充要条件 D.既不充分又不必要条件4.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4ab等于 ( )A.23 B.57 C.63 D.835.已知a=(,2),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角，则的取值范围是 ( )A. B. C. D.6.已知a=(4,3),向量b是垂直a的单位向量，则b等于 ( )A.或 B或C或 D或7.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为 ( )A. B. C. D.8.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P(x,-)在线段AB中垂线上,则x为 ( )A.- B. C.2 D.-29.已知a=(3,0),b=(k,5),且a与b的
8、夹角为,则k的值为 ( )A.-4 B.4 C.5 D.-510.已知a=(3,-1),b=(1,2),求满足条件:xa=9与xb=-4的向量x为 ( )A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-2,-3) 二、思维激活11.已知向量a、b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|a-b|= .12.已知ab、c与a,b的夹角均为60,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2= .13.已知a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若ca,则c= .14.已知点A(1,0),B(3,1),C(2,0),且a=,b=,则a与b的夹角为 . 三、能力提高
9、15.设A、B、C、D是平面内任意四点,求+值.16.设=(3,1),=(-1,2),O是原点，求满足+=时的坐标.17.已知两单位向量a与b的夹角为120,若c=2a-b,d=3b-a,试求:c与d的夹角.18.已知a=(,-1),b=,且存在实数k和t,使得x=a+(t 2-3)b, y=-ka+tb,且xy,试求的最小值.平面向量的数量积及平面向量的应用解答1.D a(a-b)=a2-ab=0,ab=1=1cos,cos=.2.B |m|=.3.C 展开得:a2+b2+2ab=a2+b2ab=0.4.D 原式=3(42+32)-4(-20+18)=83.5.A ab=10-3,|a|=,
10、|b|=,由cos=.6.D 设b=(x,y),则x2+y2=1且4x+3y=0解方程组得或.7.C ab=2(-4)+37=13,|a|=,|b|=,13=cos,|a|cos=.8.C 由条件知AB中点为M,令=0得:(x-1,-1)(-4,-3)=-4(x-1)+(-1)(-3)=0,x=2.9.D 作内积:ab=3k=3cosk0且=-kk=-5.10.B 设x=(m,n),则由条件得,故x=(2,-3).11.由已知条件得:ab=1,故原式=.12.由条件得:ca=31cos60=,cb=32cos60=3.原式=a2+4b2+c2+2ac+4ab-4bc=1+16+9+3-12=1
11、7.13.c=(1-k,1-2k),由ca=0得1(1-k)+2(1-2k)=0得k=c=.14.由条件a=(-1,-1),b=(-1,0)|a|=,|b|=1,由ab=cos得:(-1(-1)+(-1)0=coscos=45.15.=-,=-,=-,原式=(-)+(-)+(-)=-+-+-=0.16.设=(x,y),由得:-x+2y=0,又=-=(x+1,y-2),而3(y-2)-(x+1)=0解关于x,y的方程组得x=14,y=7.=(14,7)=-=(11,6).17.a、b是两单位向量,|a|=|b|=1,且a,b夹角为120.ab=|a|b|cos120=-,|c|2=cc=(2a-
12、b)(2a-b)=4aa-4ab+bb=4|a|2-4ab+|b|2=7,|c|=.|d|2=dd=(3b-a)(3b-a)=9bb-6ab+aa=13,|d|=.cd=(2a-b)(3b-a)=6ab-3bb-2aa+ab=-,cos=-(为c、d夹角).=-arccos.18.|a|=,|b|=,ab=,故ab,xy=0,a+(t2-3)b-ka+tb=0化简得:k=.-.当且仅当t=-2时,有最小值-.小练习三一选择题1已知A、B、C为三个不共线的点，P为ABC所在平面内一点，若，则点P与ABC的位置关系是 （ ） A、点P在ABC内部 B、点P在ABC外部C、点P在直线AB上 D、点P
13、在AC边上2已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则ABC的形状为 （ ） A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形3当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则的值为（ ） A、300 B、600 C、900 D、1200二、填空题5一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h。6两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子b相对于粒子a的位移 ；（2）求S在Sa方向上的投影 。三、解答题7如图，点P
