《四川省宜宾市一中高三数学上学期第8周教学设计正弦定理余弦定理及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省宜宾市一中高三数学上学期第8周教学设计正弦定理余弦定理及其应用（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四川省宜宾市一中2016-2017学年度上期高三数学第八周教学设计正弦定理、余弦定理及其应用考点梳理1正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 其中R是三角形外接圆的半径(2)正弦定理的其他形式：a2RsinA，b_，c_；sinA，sinB ，sinC ；abc_.2余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即a2_，b2_，c2_.若令C90，则c2_，即为勾股定理(2)余弦定理的推论：cosA_，cosB_，cosC_.若C为锐角，则cosC0，即a2b2_c2；若C为钝角，则cosC0，即a
2、2b2_c2.故由a2b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_，余弦定理亦可以写成sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，类似地，sin2B_；sin2C_.注意式中隐含条件ABC.3解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用_定理，只有一解(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用_定理，可能有_如在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数 (3)已知三边，用_定理有解时，只有一解(4)已知两边及夹角，用_定理，必有一解4三角形中的常用公
3、式及变式(1)三角形面积公式S 其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径(2)ABC，则A_，_，从而sinA_，cosA_，tanA_；sin_，cos_，tan_.tanAtanBtanC_.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b_2sinB_2sincos2coscostantan.(4)在ABC中，abcosCccosB，b_，c_.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠：1(1)2R(2)2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2(1)b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosCa2b2(2)bcsinB知，C有两解也可依已知条件，
4、画出ABC，由图知有两解故选C. 设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosCsinCcosBsinAsinA，即sin(BC)sinAsinA，亦即sinAsinAsinA.0A，sinA1，A. ABC为直角三角形故选B. 在ABC中，a4，b5，c6，则_.解：1.故填1. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B_.解：由正弦定理得，sinB.ba，BA，B或.故填或.典例解析类型一正弦定理的应用
5、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知AC90，acb，则C_.解：由acb及正弦定理可得sinAsinCsinB.又由于AC90，B180(AC)，故cosCsinCsinAsinCsin(AC)sin(902C)sin2(45C)sin(45C)2sin(45C)cos(45C)，即cos(45C).又0C90，45C60，C15.故填15.点拨：利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，这是解此题的关键在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A B. C1 D.解：由正弦定理得12121.故选D.类型二余弦定理的应用在ABC中，a，b，c分别是
6、角A，B，C的对边，且.(1)求B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积解：(1)由余弦定理知，cosB，cosC，将上式代入得，整理得a2c2b2ac.cosB.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accosB，得13422ac2accos，解得ac3.SABCacsinB.点拨：根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A. B84 C1 D.解：由余弦定理得c2a2b2
7、2abcosCa2b2ab，代入(ab)2c24中得(ab)2(a2b2ab)4，即3ab4，ab.故选A.类型三正、余弦定理的综合应用ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcosCcsinB.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB.A(BC)，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由，和C(0，)得sinBcosB.又B(0，)，B.(2)ABC的面积SacsinBac.由已知及余弦定理得b2a2c22accosB，即4a2c22accos，又a2c22ac，ac，当且仅当ac时，等
8、号成立因此ABC面积的最大值为1.点拨：(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为_解：由正弦定理得(2b)(ab)(cb)c，化简得b2c2a2bc.cosA，A.在ABC中，由余弦定理得4a2b2c22bccosAb2c2bcbc，当且仅当bc时取等号，SABCbcsinA4.故填.类型四判断三角形的形状在三角形ABC中，若t
9、anAtanBa2b2，试判断三角形ABC的形状解法一：由正弦定理，得，所以，所以，即sin2Asin2B.所以2A2B，或2A2B，因此AB或AB，从而ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理，得，所以，所以，再由正、余弦定理，得，化简得(a2b2)(c2a2b2)0，即a2b2或c2a2b2.从而ABC是等腰三角形或直角三角形点拨：由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC51
10、113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解：由sinAsinBsinC51113及正弦定理得abc51113，又由余弦定理得cosC0，角C为钝角，ABC一定是钝角三角形故选C.类型五解三角形应用举例某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile，则S，故当t时，Smin10，此时v30.即小艇以30 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小
