《(完整word版)还没有解决的四色问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整word版)还没有解决的四色问题（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、还没有解决的四色问题平面上除了最知名的地图四色问题外，还有其它有趣未解的四色问题在一幅平面的地图上，只要两国有共同的边界线，就规定要涂不同颜色，是 否最少需要四种颜色，才能涂任何地图？这个四色问题曾是数学里最有名的 问题之一，1976年才在计算机辅助下得到证明。其实平面上还有另外一个四色 问题，虽然没有那么广为人知，可是行家都认为它的难度不容小觑。1950年秋天首先提出这个问题的人，是美国芝加哥大学的18岁资优生纳尔逊(EdwardNels on)。纳尔逊的问题是这样的：如果把平面上所有的点涂以颜色，而任何两个距离 为1的点都必须涂以不同颜色，那么最少需要多少种颜色？这里所允许的涂法， 并不需
2、要像涂地图那样整块整块地涂，同一种颜色的点可以分布得非常怪异零 散。因为平面上有无穷多个点，似乎不是用笔逐点涂就能完成任务，所以有必要 用推理的方式来交代涂色的方法。首先可以很容易看出来两色是不够的，因为不管如何用两色来涂平面上的每 个点，边长为1的正三角形ABC，三个顶点中一定有两个会是同色，但是它们 之间的距离恰好是1,就与题目要求不合。那么三色够不够呢？假设依照问题的要求用三色涂好平面上的每个点，上图中边长为1的正三角 形ABC的三个顶点必须颜色相异。现在以 BC边为轴线，将三角形翻转过来， 新顶点D当然也得涂顶点A的颜色。接着保持顶点A不动，把整个纺锤形ABDC 向右连续旋转，总有一个
3、时刻会移到某个位置 AEGF,使得两个顶点D与G的 距离恰为1。但是根据刚才的论证，这两个顶点都必须涂顶点 A的颜色，因此导 出矛盾。也就是说要想得到合于规定的涂法， 至少需要四色。到底四色是不是纳 尔逊问题的答案呢？这正是60年来仍然悬疑的另一个四色问题。虽然还不知道四色能不能解决纳尔逊的问题，但是可以证明七种颜色就能达 到目的：首先，画一条两端无穷延伸的水平宽带，把它均分为正方形，而每个正方形的对角线长度为1 （也就是边长为1/ ,2 ）。其次，把宽带堆栈铺满整个平面， 不过每条紧接在下的宽带，要比上面一层向左移半个正方形的边长 （下图里只展 示出三条宽带）。最后，按照图示的循环法用七色涂
4、各个正方形的内部。每个正 方形的上方边线（但不包括左上的端点），以及右方边线（但不包括右下的端点）， 也都涂以该正方形内部的颜色。用这个方法把平面涂好后，假设有一条线段的两 端点涂了相同颜色，如果整条线段落在某个正方形里，那么它的长度小于1；如果两个端点落在不同正方形里，那么它的长度大于1。（请读者验证至少一端点落在边界在线的状况。）结论是平面上每个点都恰涂了一种颜色，而且任何距离 为1的两点都涂上不同的颜色，所以会满足纳尔逊问题的要求。纳尔逊问题的答 案必然是四、五、六、七中的某数，2003年著名数学家葛立恒（Ronald Graham） 悬赏1000美元给第一位证明出正确答案的人。3456712356712345612345671正确答案是多少？利用正三角形进行推理，很快可得知纳尔 逊问题至少需要四色；若将平面分割成上图般的正方形，则可 证明不需多于七色！平面上的点经由坐标可 对应于一对实数。只考虑坐标值都是有理数的 点，就构成有理数平面。这个平面虽然比原来实数平面少了无穷多个点， 但仍然 构成一个稠密的几何体。如果纳尔逊问题的对象是涂有理数平面的话，结果会怎 样呢？非常出人意表的是，有人证明二色足矣！-#-
