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1、第三单元导数、微分的概念及四则运算第一节导数和微分的概念一、学习目标本节课主要讨论导数和微分的概念， 通过学习应明确导数与微分的定义，了解 导数的几何意义和经济意义，会求曲线的切线方程；了解导数、微分与连续之间的 关系并熟练背住导数和微分的基本公式.二、内容讲解本节的主要内容是导数与微分的概念.1.导数概念三个引例：边际成本问题；瞬时速率问题；曲线切线问题 .引例1：边际成本问题c一总成本，q 一总产量，已知C =C（q）,当qoT q。+Aq时（当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变 量）C（q。.:q）-C（q。）C（q） t C（q。+Aq） ,Aq（成本平均变化率）,jm C（q。：
2、q）-C（q。）It X （边际成本）引例2:瞬时速率问题路程S是时间t的函数S当 t 从MT M+& 时，S（t）从 S（b）T S（t0+N）S(to ；：t) -S(to)t(平均速率) S(to t) -S(to) lim -+2At(在t。时刻的瞬时速率)引例3:曲线切线问题考虑曲线y = f (x)在X = Xo处的切线斜率.当XoTXo+Ax时，对应的yT义十与曲线上的，。)和tan .二 f(xo M-fg(Xo *加，f(Xo +&x)两点间割线的斜率为Ax.(当AxT o时)f (Xo x) - f (Xo)tan: - lim tan = lim 3a Ax称为切线的斜率
3、.C(qo q) -C(qo)C(q)二则S(t)二 1tmoS(tot) -S(to):tf(x) 7mof (XoX) - f (Xo)X关于函数 y=f(x), XoTXo+X, f(Xo)T f(xo + x)11m f (Xo +，X) - f (Xo) 考虑极限如X定义2.5 导数设函数y =f（x）在点x。的邻域内有定义，当自变量x在点x。处取得改变量x（/0）时，函数y取得相应的改变量：iy = f（xo+x）-f（xo）y . y .f（x。.：x）-f（x。）lim 二 lim若当Ax T o时，两个改变量之比Ax的极限X。Ax aAx存在，则称函数y = f （x）在点X
4、o处可导，并称此极限值为y = f（X）在点Xo处的导数,df,I记为f (x。)或y *%或dxdyX* 或 dxX=x)即 f (xo )二史f (x。x) - f(Xo)若极限不存在，则称函数y = f（x）在点xo处不可导.在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的.2 .导数定义的意义数量意义：变化率经济意义：边际成本几何意义：切线的斜率dy _ df(x) 设 y = f(x),导数 dx dx3 .微分的概念=y = f （x）r工 7/口 r -八,八八,八两边同乘dx,得到函数的微分，微分dy =df(x) = y dx = f (x)dx(sin x) = cosx(cos
5、x) = - sin xxx(a ) =a In a(ex) =ex4 .导数公式(c),=。(x：) = ：xMZl 、1(In x)=一 x5 .微分公式由导数公式可以得到微分公式八、1、1 ,(x： ) =:x： d(x： )=:xTdx(lnx) =- d(ln x) = -dxsin xdx ; x x(sin x) = cosx d(sin x) = cosxdx . (cos x) - - sin x d(cosx)=-(ax)=axlna d(ax); ax In adx . (ex) =ex d(ex);axdx问题思考：设y = c,则y=?y = (c) =0 证明如下：
6、因为 y=f(x)=c, f (x +&x) = c, f (x)f (x ：,-x) - f (x) c-c八f (x ：,-x) - f (x) c - c0 limlim xAx；于是心0Ax0 Ax三、例题讲解例 1y = f(x)=x2,求 f ，(-2).思路：先求f (x),再求f F(xo).解：因为 f (x) =x1f (x x) =(xx)2f (x x) - f(x)lim x 0 Lx(xx)2 -x2二 lim ；X 0Lx2x x ( x)2二 lim ：x 0-x=2x所以 f(x) = (x2),=2x, f(1) =2, f(3) =6, f(2)=4例 2
7、 g(x) =ln x ,求 g (10), g (0.5).解：因为 g(x) =lnx, g(x +Ax) =ln(x + Ax)g(x . x) -g(x)二1四ln(x lx) - In x一 1 x x lim Inx 0 x x=lim (ln.x ox lx1 1x x -xx二1mo()X 111= lnexg (10) ,g (0.5)=2x，所以10导数公式：(ln x)=- x求导步骤:1、求f (x) ； ； 2、求 f (x)x=xo注意：f(幻是”刈的导函数，函数在x。处的导数值f (x)= f (x)四、课堂练习练习1设f(0)=0,且f(0)=0存在,lim四
8、求xlim.利用已知条件对 T x 进行适当的变形，再用导数定义求极限.f(x) . f(x) - f(0)lim lim T X T X -0,由导数定义，上式极限存在且就是函数f(x)在X = 0处的导数，即为f (0)练习2设函数f (x)在x = 0处可微，求” f(X).利用已知条件，函数可微一定连续.可以证明函数可导与可微是等价的，可导一定连续，反 lim f (x) = f (0)之则不然.因为函数可微一定连续，所以0五、课后作业1 .根据导数定义，求下列函数的导数：(D y=3x+ (1) 27; (2) e ； (3) ln2 ; (4) 2。； y=x2 .求下列函数在指定
9、点处的导数：(1) y=x,x0 =3.(2)y=lnx，x0=e.(3)y=2 ,x0=0(4)jiy = sin x,x0 =一33 .求下列函数的导数和微分:一、_/1、x f(x)=lgx(1) f(x)=5; (2 ) (x -(2); (3) f(x)=x114 .求曲线y = ln x在(1, 0)点处的切线方程.y = 4x -1_25 .在抛物线y=x上求一点，使得该点处的切线平行于直线1_ y 二1. ( 1) y =3 ； (2)2vx ；3. (1) 0;(2)10；(3) 11x ；1(4) xln 10 .4. y = x 一1; 5. (2,4)第二节导数的四则运
10、算法则一、学习目标通过本课程的学习，我们要熟练掌握导数的四则运算法则，并且能够熟练运用四则运算法则计算函数的导数与微分.1 .导数的加法法则设u(x),v(x)在点x处可导，则u(x)v(x)在点X处可导亦可导，且(u(x) v(x)=u(x)v(x) , (cv(x) = cv(x) (c为常数)2 .加法公式证明求证导数的加法法则(u(x) ,v(x) , =u (x) v(x)证：设 f(x) =u(x) +v(x),则 f (x + Ax) =u(x+&x) +v(x + Ax) , f (x) = u(x) + v(x).f (x) =(u(x) -v(x),：l.im0 f(xx)
11、-fu(x x) -u(x)xv(x x) v(x)xlim u(x x)-u(x)x 0xlim v(x XLx 0 x二 u (x) v (x)由已知条件，u(x),v(x)均可导.3 .导数的乘法法则设u(x)，v(x)在点x处可导，则u(x)v(x)在点x处可导亦可导，且 (u(x)v(x) = u (x)v(x) +u(x)v (x) (cv(x) = c v(x) + cv(x) = cv(x)4 .导数除法法则u(x)设u(x)，v(x)在点x处可导，则v(x)在点x处可导亦可导，且v2(x)v(x) ； 0u(x) u (x)v(x) -u(x)v (x) 丽)二4)=?问题思
12、考：设v(x)在点x处可导且v(x)#0,则v(x)c -cv (x)c()=、,2()=v(x) v (x).解：由导数的除法法则v(x)(c) v(x) - cv (x)- cv (x)v2(x)v2(x)三、例题讲解例 1 设函数 y =5x3 4x+1 ,求 y = ?分析：现在分别知道幕函数和常数函数的导数公式， 利用上述法则可求它们组 合后函数的导数.解:yr=(5x3)F-(4x)r+(1) r (利用加法法则)= 5(x3),，4(x)1(cv(x) =cv(x)=15x2 -4(利用导数公式(%=”产，(c) = 03设 y=4x -*，cosxy=(3x)()/解：4(提小
13、(+21nx ,求 y .解:y = (4x3) -( . x) (2 ln x)= 4(x3) -(、, x) 2(ln x)/、11二12x2 2.x x(、x) : (1n x)=2 , xxox cosxy =3例3 设4 ,求y .ax) =axlna (cosx) = - sin x-X 1x sin x=3 In 3(-sin x) = 3 In 3 -44x3 -1 , y = In x例 42, y =?x311；1y = - - In xIn , x = In x2 = In x解：因为22 2(由对数的性质： 2).321y = - x所以22x (其中常数的导数为0)2 _ x例5 设y = x e ,求y解：利用导数的乘法法则，y =(x2)ex . xle)(利用导数公式(ex)=ex)=2xex x2ex = xex(2 x) 4,例6 y=x，求 y .解： 方法1由导数基本公式(x4) = 4x3方法2利用导数的乘法法则y = x4= x2x2y =(x4)= (x2x2)= (x2)x2x2 (x2) = 2x x2 x2 2x = 4x3说明无论用哪种方法其结果是唯一的.sin x一 y 二例7 x ，求y .1-y = 一 sin x解： 方法1将函数看成 x ,利用乘法法则求导11
