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1、成考专升本高等数学二重点知识及解析占130分左右第一章、函数、极限和连续22分左右第一节、函数不单独考,了解即可一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：是由,和这三个简单函数复合而成.例如：是由,和这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：1常值函数： 2幂函数： 3指数函数：0,4对数函数：0,5三角函数：,6反三角函数：,其中：正割函数 ,余割函数三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算,并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大有时选择题会单独考到,也是后面求极限的基础
2、一、无穷小1、定义：以0为极限的量称无穷小量。注意：1一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。2只有0能能作为无穷小的唯一常量,千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。例1：极限,即当时,变量是无穷小；但是当时,就不是无穷小,因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。例2：例变量在给定的变化过程中为无穷小的是 .A、B、 C、 D、E、 F、 G、H、答案：选C、E、F、H ,因为上述选项的极限值均为零！二、无穷大1、定义：当或时,无限地增大或无限减小,则称是当或的无穷大。注意：1无穷大是变量,不能与的常量混为一谈。 2无限增大是正无穷大,无限减小是负无穷大
3、。三、无穷小和无穷大的关系：若为无穷大,则为无穷小；若为无穷小0,则为无穷大例如：当时,为无穷小,则为无穷大。 当时,为无穷大,则为无穷小。第三节、极限的运算方法重中之重！选择、填空和解答题都会考到一、直接代入法：对于一般的极限式即非未定式,只要将代入到函数表达式中,函数值即是极限值。注意：1常数极限等于他本身,与自变量的变化趋势无关.即,为任意常数2求极限时首先考虑用代入法,但是该方法只能针对的时候,而时则不能用代入法,因为是变量,并非实数！例1： , , , ,例2：=例3：=例4：=二、未定式极限的运算法重点,每年必考一题！1、未定式定义：我们把、,等极限式称为未定式,因为它们的极限值是
4、不确定的,可能是无穷小,可能是不为零的常数,也可能是无穷大。注意：确定式是指极限值是确定的一个值,不用通过计算就可以推断出。2、四则运算中常见的几个未定式和确定式1, , , 为未定式2为未定式, 为未定式, , 为未定式上述和下述的都代表无穷小,即极限值为零的量。3、几个重要未定式的计算方法1对于未定式：分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将代入后函数值即是极限值。对于分子、分母有根号的特殊情况,要先消去根号,然后提取公因式2对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂,然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。3对于未定式：先通分将转化成或的形式,然后再用上述或的计算方法进行计
5、算。例1：计算. 未定式,提取公因式解：原式=例2：计算. 未定式,提取公因式解：原式=例3：计算. 未定式,先去根号再提取公因式解：原式=例4：计算. 未定式,分子分母同除以解：原式=无穷大倒数是无穷小,因此分子是0分母是2例5：计算. 未定式,先求极限再开三次方解：原式=例6：计算. 未定式,先通分,后计算解：原式=注意常用的几个代数转换公式： 三、利用两个重要的极限重点掌握公式,一般考选择、填空1、公式：=1把结论记住即可,重点掌握后面的等价无穷小的替换2、公式：= 或 =1适用范围：一般用于 未定式的极限式2解题方法：通常用换元法,先将复杂的变量换元成新变量t,再将原极限式中的变量新变
6、量t的进行代换,然后转化为公式的形式,最后进行计算。注意：于换元时引入了新变量,要求出新变量的变化趋势。例1：计算. 未定式,先换元然后用公式求解解：令,得,即将复杂的变量换元成新变量t当时,求出新变量的变化趋势所以原式=转换成新变量的极限式后再用公式求例2：计算. 未定式,先换元然后用公式求解解：令,得,即先换元当时,求出新变量的变化趋势所以原式=四、利用等价无穷小的代换求极限重点、每年必考一题！1、等价无穷小的定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小,即如果=1,称与是等价无穷小,记作.例1：由公式可知极限=1 ,所以当时,与是等价无穷小.例2：当时,函数与是等价无穷小,则=.2、用等价无穷
7、小的代换求极限1定理：设、均为无穷小,又,且存在则= 或 注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用,但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换,不能对分子、分母的加减式子进行代换。2常用的等价无穷小代换7个：当时, , , , , 注意：这7个等价无穷小务必熟记,是我们做一些极限题目的必备工具。在使用时要注意这7个等价无穷小的代换前提是的时候,代换时也要根据题意要灵活运用！例1：当时,2, , ,例2：极限=用2等价代换 极限=用等价代换例3：计算.解：当时,等价代换所以原式=计算例4：计算.解：当时,等价代换所以原式=计算例5：计算.解：当时,等价代换所以原式=先去根
8、号,再计算第四节、函数的连续性每年考一题,都以选择或填空形式出现一、函数的连续性往往考已知函数在某点处连续,求一个未知量常数1、函数在点处的连续定义：设函数在的某范围内有定义,如果函数满足 , 则称在点处连续2、 函数在点处连续的充要条件即函数在既满足左连续又满足右连续左连续对应左极限,右连续对应右极限 ,例1：设函数= 在处连续,求. 分段函数 , 解：因为函数在处连续,即满足因为=且=,所以=. , x0例2：设函数= 在处连续,求.分段函数 ,解：因为函数在处连续,因为=,=,且=所以. , x0例3：设函数= 在处连续,求. ,解：因为函数在处连续,因为= , =且= , 所以注：以上
9、三题均为分段函数,由于数学编辑器问题,大括号打不出来,请同学们自己填加！ 第二章、一元函数微分学45分左右第一节、导数与微分一、导数的概念知道导数的符号如何表示即可1、导数的表示符号1函数在点处的导数记作：, 或 2函数在区间a,b内的导数记作：, 或 二、求导公式重点,是解题的关键,必须记住！1 C为常数 23 , 4 ,5 67 89 1011 12例：1、= 2、 3、 =4、 5、 6、=三、导数的四则运算必考题型,选择、填空、解答题均有可能出现1、运算公式设U,V是关于X的函数,求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可,代入后用导数公式求解.1 23为常数 4例1：已知函数,求
10、.解：=例2：已知函数,求.解：=所以=例3：已知函数,求.解：=所以=四、复合函数的求导法则必考题型,选择、填空、解答题均有可能出现1、方 法 一：例如求复合函数的导数.1首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如由和这两个简单函数复合而成2用导数公式求出每个简单函数的导数.即=,=23每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.所以=2=22、方 法 二直接求导法：如果对导数公式很熟悉,对复合函数的过程十分清楚,可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例如=2例1：设函数,求. 用方法一求解解：该函数是由和复合而成,且= , =.所以=例2：
11、设函数,求. 用方法二求解解：=注意：同学们在解题是要结合自己的基础以及对公式的熟练程度选择其中的一种求解方法.五、导数的几何意义可能会考到选择、填空1、导数的几何意义：在点处的导数就是曲线在点处切线的斜率,即 =2、切线方程的求法：用点斜式即已知点和斜率去求切线方程设函数,则该函数在点处的切线方程为：例1：求函数在点处的切线方程.解：因为=先求导即=再求切线斜率,即把代入导数中所以切线方程为：,即. 用点斜式求出切线方程六、高阶导数每年考一题,一般考求二阶或三阶导数1、定义：如果函数的导数在点处可导,就称的导数为函数的二阶导数,记作：,或我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：1二
12、阶导数就是对一阶导数再求一次导 2三阶导数就是对一阶导数求两次导,对二阶导求一次导 3同理得四阶、五阶导数的求法例1：已知,求.解：因为=,且=,所以=例2：已知,求.解：=,所以=2=4即=七、微分每年考一题,考选择、填空或者解答题1、微分的求法：1求出函数的导数.2再乘以即可.即. 因为我们习惯用表示例1：已知,求和.解：因为=所以=,即= 是微分的一个标志,故切勿将代入中例2：设函数,求.解：因为=所以=第二节、洛必达法则考的话考解答题,考的可能性为百分之50左右1、洛必达法则介绍：在一定条件下通过分子、分母分别求导,再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则公式：2、使用洛必达法则应当注意的地方：（1） 只能对或才能使用洛必达法则,如果是未定式一定要先通分化成或才能使用洛必达法则.（2） 在使用洛必达法则时,是对未定式的分子、分母分别同时求导,再求极限.（3） 在应用一次洛必达法则后,仍然是0/0或/,则可继续使用洛必达法则,如此继续下去直到求出极限为止。在重复使用洛必达法则时,必须一步一检查,一旦发现不是未定式,就要停止使用.（4） 洛必达法则是求未定式的重要方法之一,使用时最好与等价无穷小代换等求极限的方法一起使用,这样才能较快、简便地求极限.例1：求未定式,因不能提取公因式,故用洛必达法则 解：原式=为了简化计算,先将用作等
