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1、切换系统来源于实际控制系统，所以对其研究不但是现代控制理论发展的需 要，更是试图解决大量实际问题的迫切需求.不同于一般系统，切换系统在运行过 程中，切换规则起着重要作用，不同的切换规则将导致完全不同的动态特征：若干 个稳定的子系统在某一切换规则下可导致整个系统不稳定.而若干个不稳定的子 系统在适当的切换下可使整个系统稳定，即其子系统的稳定性不等价于整个系统 的稳定性.1999年Daniel Liberzon和A. Stephen Morse发表了一篇切换系统稳定性分析 的综述文章，并归结为如下三个基本问题：问题1:切换系统在任意切换下渐近稳定的条件；问题2:切换系统在受限切换下是否渐近稳定；问
2、题3:如何设计切换信号,使得切换系统在该切换信号下渐近稳定.以上三个问题是在研究切换系统稳定时密不可分的。我们在研究切换系统稳定性的时候，大多围绕这三个问题展开.在对控制系 统进行分析的过程中，已经有了很多的研究方法，在研究切换系统的稳定性时， 我们经常用到的方法有：单Lyapunov函数方法，共同Lyapunov函数方法，多 Lyapunov函数方法，共同控制Lyapunov函数方法，backstepping方法，LMI等。切换系统基本知识定义1一个切换系统被描述成以下微分方程的形式X = f。（x）（】）其中这里（fp : p P是一族Rn Rn的充分正则函数，6 0,+8）TP是关 于时
3、间的分段.常值函数，称为切换新号。有可能取决于时间t或状态x（t），或 两者都有。P是某个指标集。以下非特别指明假设P都是有限集。如果这里所有 的子系统都是线性的，我们就得到一个线性切换系统，X = A6（x）（2）1任意切换下稳定很明显，为了研究切换系统在任意切换下的稳定性，我们必须假设所有系统 都是稳定的，这点对于切换系统的稳定只是必要条件。我们要研究的是为了使切 换系统在任意切换下稳定还需要什么条件。存在共同Lyapunov函数是系统在任意切换下渐近稳定的充要条件，因而寻 求共同Lyapunov函数存在的条件是解决稳定性问题的一个途径。共同Lyapunov 函数法与传统的Lapunov直
4、接法基本是一致的。其主要思想是:对于切换系统， 如果各子系统存在共同Lyapunov函数，那么系统对于任意的切换序列都是稳定 的。定理1 Lapunov稳定性定理为研究切换系统的稳定性提供了一个基本工具， 具体如下：对于切换系统（1），如果存在正定连续可微的函数V： Rn Rn，正定连续 的函数W： Rn Rn，满足dVV（x）=寸 f （x） 0使得ATP + PAi0， 由以上引理可见，切 的子系统的凸组合均稳定。另外，对于下列一对二阶渐近稳定的线性系统还有以下充分必要条件。X = Aj（x），Ai E R2X2，i=i,2考虑两个子系统的矩阵凸组合Ya（A1，A2）全 aA1 + （1
5、- a）A2，aE （0,1）定理2 对二阶渐近稳定的线性切换系统具有共同二次Lyapunov函数当且 仅当Ya（A1，A2）和Ya（Ai，A-i）中的矩阵都稳定。定理3如果Ap： pP是由一些可交换的Hurwitz矩阵组成的有限集，那 么这个相应的线性切换系统（2）是全局一致指数稳定的。令Aj,A2，.，Am是一个给定的由交换的Hurwitz矩阵构成的集合，令P】是 下面的Lyapunov方程的唯一的正定解ATP + PA = -I对于i=1,.,m，令耳是下面的Lyapunov方程的唯一的正定解然后函数ATPi + PiAi = -Pi-1V（x） = XTP X m是所期望的给定的线性切
6、换系统（2）的一个二次共同Lyapunov函数。Pm由以下 公式给出f8”8Pm = I eAmtm （I eATt1 eA1t1dt1）eAmtmdtm %由于气，i=1，,m是可交换的，所以我们可以将上式可以重新写成下面的形式8Pm = I eATti QieAitidtiJo这里Q 0。定理4如果fp： pGP）是由可交换的一次连续可微的斜向量场组成的有限 集，并且所有的子系统的原点是一个全局渐进稳定的平衡点，那么交换的切换系 统（1）是全局一致渐进稳定的。这里没有给出共同Lyapunov函数的明确结构，有两种方法能够构造这样的 一个函数，但是，他们都要依靠更强的条件：系统（1）的各子系
7、统是指数稳定 的。并且仅仅给出一个局部的共同Lyapunov函数。方法一考虑这样一个线性化的矩阵A : = dfp（0），p 6 P. p dx如果非线性的斜向量场可交换，那么线性化的矩阵Ap也可交换。（假设fp6C1，fp（0） = 0，Vp6 P）。线性化的矩阵可交换是一个弱解条件。矩阵Ap是Hurwitz的当且仅当斜向量 场fp是指数稳定的。这样对于线性化的系统的一个二次共同Lyapunov函数，就 可以作为这个有限子族非线性系统原点处的一个局部的共同Lyapunov函数。 方法二 令P = 1，,m，系统（1）的各子系统fp是指数稳定的。对于任意的p6P，令（t，z）表示系统X=fp（
8、x）满足初始条件x（0） = z的解，定义fT.c 一|1 （T， Z） | dT0V.（X） ：=%_ Sj（t，z）dT，i=2,.,m这里T是一个足够大的正常数。那么Vm是一个各子系统的局部共同Lyapunov函 数。如果函数fp： p6P满足全局Lipschitz条件，那么我们就得到一个全局的共 同Lyapunov函数。定理5 （共同Lyapunov存在逆定理）假设切换系统（1）是全局一致渐进稳 定的，集合fp（X）： p 6 P对成有界，函数fp（X）对于X和一致的p满足局部 Lipschitz条件，那么这个系统的各子系统有一个径向无界的光滑的共同Lyapunov 函数。2受限切换稳
9、定多Lyapunov函数法是Branicky从切换系统的特点出发提出的，这是因为共 同Lyapunov要满足的条件往往过强，实际系统中存在共同Lyapunov函数的情形 并不多见，而且很多切换系统虽然不存在共同Lyapunov函数，却可以选择适当 的切换信号使系统渐近稳定。对于这样的系统，多Lyapunov函数法是一种有效 的方法。多Lyapunov函数:为切换系统定义一组Lyapunov-like函数V“i = 1,2, .,m，然后 判定切换系统稳定性。对于系统(1)，假设各个子系统切换时状态不发生跳变，平衡点为X Qj u Rn, fi (x)是全局Lipschiz连续的，所谓Lyapu
10、nov-like函数飞是 定义在区域0上的一个连续可微的实值函数，且满足以下条件 正定性:Vj(X) = 0，Vx Qi，当 x 壬 X，V (X) 0导数负定:当切换到子系统(x(t)时，其相应的Lyapunov函数飞单调递 减，即Vx Qi，V(x) = dV fi (x) 0。共同Lyapunov函数法研究切换系统对于任意切换序列是否稳定，而多 Lyapunov函数法研究系统对于一类切换序列是否稳定。定理6若切换系统(1)的各子系统都是全局渐进稳定的，令Vp，pP是相 应的各子系统的径向无界的Lyapunov函数，若存在一族正定的连续函数Wp，p P，满足对于每一对切换时刻(t.，t.)
11、，i j，满足o(t.) = o(t.) = p P，并且K i yJi 了 厂o(tk)壬 p，ti tk t.，Vp(x(tj)-Vp(x(ti) 0,假设相 邻切换时刻相差不小于T的切换信号(即每次在子系统的逗留时间不小于T)，我们 考虑在这样一类切换信号下系统的稳定性。对于线性切换系统，如果各个子系统 均渐近稳定，那么只要切换信号满足在各个子系统内的逗留时间足够长，即只要 T足够大，就可以保证线性切换系统全局指数稳定，并且还可以定量计算出逗留 时间的下限。在一定条件下，还可以将上述结论推广到非线性切换系统。在这里，我们仅以一组全局指数稳定的非线性系统为例来说明基于逗留时间 的稳定性条件
12、。假设切换系统(1)的各子系统是全局指数稳定的，对于任意的pP，都存在对应的Lyapunov函数Vp满足ap|x|2 Vp(x) bp|x|2(3)尹fp(x) V-cp|x|2(4)其中ap, bp, cp是正常数。由(3)和(4)我们能够得到dV苏fp(x)-2入pVp(x), pP这里入p := 了，p P。这样Vp(x (t0+T) t，i=0,1。由以上不等式我们知道1 2i+1 iV (t)v%V (t) b2e-2A1TV (t )2、1 a 1、/ a 11k 07V (t)v b1V (t)。-2入2tV (t ) b1b2e-2(M+入2)tV (t )1 a 2* a 2
13、 2 a a 1 21W只要t足够大，就可以保证V1(t2) 1log住)，就可以保证切换系统全局渐近稳定。2 (入+入2)a1a2平均驻留时间平均驻留时间是将所考虑的切换信号扩充到只要随着时间区段的增长切换 次数不会增加太快的切换信号。或者是线性增长Na(T,t) VN0 + T-t，则t称为是 平均驻留时间。定理7对于切换系统(1)，如果各子系统都存在连续可谓的函数Vp：RnT R，pP，a1，a2是两个聪类函数，入0，是正常数，若满足a1(|x|) V Vp(x) V a2(|x|)，Vx，Vp PdVdx fp (x) V -2入0Vp(x)，Vx ，Vp PVp(x) V |iVq(x)Vx， Vp ， q P则系统(1)对于有平均驻留时间T10距的任意切换信号是全局渐进稳定的。2入
