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1、9-2 求平面图形内各点速度的基点法一、基点法现在讨论平面图形内各点的速度。由前一节分析可知，任何平面图形的运动可分解为两个运动：（1）牵连运动，即随同基点的平移；（2）相对运动，即绕基点的转动。于是，平面图形内任一点M的运动也是两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度，这种方法称为基点法。因为牵连运动是平移，所以点M的牵连速度等于基点的速度，如图9-8所示。 图9-8 图9-9又因为M点的相对运动是是以点为圆心的圆周运动，所以点M的相对速度就是平面图形绕点转动时点M的速度，以表示，它垂直于而朝向图形的转动方向，大小为式中是平面图形角速度的绝对值（以下同）。以速度和为边作平行四边形，于
2、是，点M的绝对速度就由这个平行四边形的对角线确定，即 (9-2)上式是平面图形内任意点M的速度分解式。根据此式，可作出平面图形内直线上各点速度的分布图，如图9-9所示。二、关于基点法的结论结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。根据这个结论，平面图形内任意两点A和B的速度vA和vB必存在一定关系。如果选取点A为基点，以vBA表示点B相对点A的相对速度，根据上述结论，得 (9-3)式中相对速度vBA的大小为它的方向垂直于AB，且朝向图形转动的一方。在解题时，我们常用式(9-3)。与前一章的分析相同，在这里vA，vB和vBA各有大小和方向两个要素，共计六个要素
3、，要使问题可解，一般应有四个要素是已知的。在平面图形的运动中，点的相对速度vBA的方向总是已知的，它垂直于线段AB。于是，只须知道任何其它三个要素，便可作出速度平行四边形。三、应用基点法求解的例题例9-1椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负方向运动，如图9-10所示，AB=l。求B端的速度以及尺AB的角速度。解：椭圆规尺AB作平面运动，因而可用公式在本题中vA的大小和方向，以及vB的方向都是已知的（因B端在y轴作直线运动）。共计有三个要素是已知的，再加上vBA的方向垂直于AB这一要素，可以作出速度平行四边形如图9-10所示。图9-10作图时，应注意使vB位于平行四边形的对角线上。由图中的几何关系
4、可得此外但另一方面，此处是尺AB的角速度，由此，得例9-2图9-11所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，BDAE，杆AB的角速度为。求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。解：杆DE绕点E转动，为求其角速度可先求点D的速度。杆BD作平面运动，而点B也是转动刚体AB上的一点，其速度为方向如图。图9-11对于平面运动的杆BD，可以点B为基点，按式(9-3)得其中vB大小和方向均为已知，相对速度vDB的方向与BD垂直，点D的速度vD与DE垂直。由于上式中四个要素是已知的，可以作出其速度平行四边形如图所示，其中vD位于平行四边形的对角线。由此瞬时的几何关系，得知于是解出
5、此瞬时杆DE的角速度方向如图。vDB为点D相对B的速度，应有由此可得此瞬时杆BD的角速度为方向如图。在求得杆BD角速度的基础上，可以点B或D为基点，求出杆BD上任一点的速度。如仍以点B为基点，杆BD中点C的速度为其中vB的大小和方向均为已知，vCB方向与杆BD垂直，大小为。已知四个要素，可作出上式的速度平行四边形如图。由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC的方向恰好沿杆BD，大小为例9-3曲柄连杆机构如图9-12a所示，OA=r，。如曲柄OA以匀角速度转动，求当，和时点B的速度。 (a) (b) (c)图9-12解：连杆AB作平面运动，以点A为基点，点B的速度为其中，方向与OA垂直，vB沿OB
6、方向，vBA与AB垂直。上式中四个要素是已知的，可以作出其速度平行四边形。当时，OA恰与AB垂直，其速度平行四边形如图9-12a所示，解出当时，vA与vBA均垂直于OB，也垂直于vB，按速度平行四边形合成法则，应有vB=0（图9-12b）。当时，vA与vB方向一致，而vBA又垂直于AB，其速度平行四边形应为一直线段，如图9-12c所示，显然有而。此时杆AB的角速度为零，A，B两点的速度大小和方向都相同，连杆AB具有平移刚体的特征。但是，连杆AB只在此瞬时有vA=vB，其他时刻则不然，因此称此时连杆作瞬时平移。例9-4图9-13所示行星齿轮系中，大齿轮固定，半径为r1；行星齿轮沿轮只滚而不滑动，
7、半径为r2。系杆OA的角速度为。求轮的角速度及其上B，C两点的速度。图9-13解：行星齿轮作平面运动，其上点A的速度可由系杆OA的转动求得方向如图。以A为基点，轮上与轮接触的点D的速度应为由于齿轮固定不动，接触点D不滑动，显然vD=0，因此有方向与vA相反，如图。vDA为点D相对于基点A的速度，应有。由此可得为逆时针转向，如图。以A为基点，点B的速度为而方向与vA垂直，如图所示。因此，vB与vA的夹角为，指向如图，大小为以A为基点，点C的速度为而方向与vA一致，由此四、解题步骤总结以上各例的解题步骤如下：（1）分析题中各物体的运动，哪些物体作平移，哪些物体作转动，哪些物体作平面运动。（2）研究
8、作平面运动的物体上哪一点的速度大小和方向是已知的，哪一点的速度的某一要素（一般是速度方向）是已知的。（3）选定基点（设为A），而另一点（设为B）可应用公式，作速度平行四边形。必须注意，作图时要使vB成为平行四边形的对角线。（4）利用几何关系，求解平行四边形中的未知量。（5）如果需要再研究另一个作平面运动的物体，可按上述步骤继续进行。五、速度投影定理根据式(9-3)容易导出速度投影定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。证明：在图形上任取两点A和B，它们的速度分别为va和vB，如图9-14所示，则两点的速度必须符合如下关系：图9-14将上式两端投影到直线AB上，并分别用，表示
9、vB，vA，vBA在线段AB上的投影，则由于vBA垂直于线段AB，因此。于是得到这就证明了上述定理。这个定理也可以由下面的理由来说明：因为A和B是刚体上的两点，它们之间的距离应保持不变，所以两点的速度在AB方向的分量必须相同。否则，线段AB不是伸长，便要缩短。因此，这定理不仅适用于刚体的平面运动，也适合于刚体作其他任意的运动。六、应用速度投影定理求解的例题例9-5图9-15所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CDED。求此瞬时点E的速度。图9-15解：由速度投影定理，杆AB上点A，B的速度在AB线上投影相等，即解出摇杆CD绕点C转动，有轮E沿水平面滚动，轮心E的速度方向为水平，由速度投影定理，D，E两点的速度关系为解出
