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1、本科学生毕业论文用曲线拟合进行施肥效果分析系部名称：数学系专业班级：学生姓名：袁海燕指导教师：曲绍平职称：副教扌授助教黑龙江工程学院二OO九年六月The Graduation Thesis for Bachelors DegreeThe Effective Analysis Being in Progresswith Curve Fitting Of Applying FertilizerCandidate: Wang ZhihuiSpecialty： Information and complete scienceClass: B05-75Supervisor： Association pr
2、of. Qu ShaopingAssistant of Yuan HaiyanHeilongjiang Institute of Technology2009-06Harbin摘 要本论文是在数学基本理论的指导下，利用从某研究所获得的某地区土豆和生菜生 长所需的营养素氮（N）,磷（P）,钾（K）的施肥量及其相应产量的实验数据，应用数 学软件MATLAB对所得的数据进行曲线拟合，并用曲线拟合的几种方法分别求得施 肥量与产量之间的函数关系。最后，对所得的结果从应用方面进行评价，以及给出相 应的改进方案。首先，研究每一种肥料的施肥量对产量的影响，将另外两种肥料始终固定在第七 种水平上，我们用最小二乘
3、法和插值法求得土豆和生菜的产量与氮、磷、钾的施肥量 之间的函数关系；其次，用多元回归法求得在三种肥料共同影响下施肥量与产量之间 的函数关系。通过讨论我们分别求出了三种肥料有一个是变量（另外两个保持在第七 种水平上）和都是变量两种情况下的最优解，当然，从实际应用方面来看，后者所得 的结果更有指导意义。关键词：生菜；土豆；施肥量；产量；经验公式；曲线拟合ABSTRACTThe thesis is guided by fundamental theory of mathematics, making use of experiment data which is some area potatoes
4、 and lettuce gaining from some research institutes to grow required nutrient nitrogen (N) , phosphorus (P), potassium (K) fertilization amounts and their corresponding output , and applied mathematics software MATLAB to carry out the curve fitting on the gains data and use several kind methods of cu
5、rve fitting to ask for the function relation between the amounts of applying fertilizer and output respectively .Finally, we carry out valuation on the result from the aspect of applying and give out a corresponding improvement scheme.Firstly, we study the impact of the amounts of applying fertilize
6、r about every species fertilizer over output, another two kinds fertilizer fixing in the seventh kinds level upper, we are asking for the function relation of the nitrogen , the phosphorus, the potassium fertilization amounts and the output about the potatoes and lettuces with minimum two multiplica
7、tion and interpolation; Secondly, We use multivariable return law to ask for the function relation between applying fertilizer and output under common effect of three kinds fertilizer. Finally, We have got respectively the optimum solution when three kinds fertilizer have one to be the variable (ano
8、ther two kinds fertilizer fixing in the seventh kinds level upper ) and when all of them are variables by discussing that we part for, of course ,the result of the latter will guide more significance judging from actual application aspect.Key words: Lettuce; Potato; The amounts of applying fertilize
9、r; Output; Experience formula; Curve fitting目 录摘要IAbstractII第1章绪论11.1曲线拟合的背景和发展来源11.2回归分析的基本概念3第2章 曲线拟合方法介绍52.1最小二乘法52.1.1最小二乘法曲线拟合的矩阵表示52.1.2最小二乘法中待寻函数类的选择52.1.3加权最小二乘法曲线拟合62.2插值法72.2.1函数插值的基本概念72.2.2拉格朗日插值72.3多元回归和曲面拟合82.4本章小结9第3章 模型的建立和求解113.1模型分析113.1.1已知情况113.1.2做出散点图113.1.3确定拟合函数形式133.2模型的建立13
10、3.2.1用最小二乘法建立模型133.2.2用拉格朗日插值法求解曲线方程153.2.3用多元回归求解拟合曲线163.3模型的求解173.3.1 一种肥料的施肥量与产量函数关系的模型求解173.3.2 土豆和生菜的产量都看成是N,P和K的三元函数的模型求解193.4本章小结203.4.1模型的检验203.4.2模型的改进21结论23参考文南犬26致谢27附录28第1章绪 论1.1曲线拟合的背景和发展来源在科学试验中，常常需要从一组测量数据中找出实验规律的数学表达式，例如经 验公式。设有如下一组实验数据，其中某些可能是基本相近，而是重复某次测量结果：表1.1xiyixy00xy11xynn现要求构
11、造一个能逼近列表数据y二f (x)的近似数学表达式，使各数据点从总体 上最贴近y二f (x)，而不一定要求构造的函数曲线通过所给数据点。这就是数据拟合 或曲线拟合也属这类问题，但插值函数曲线是通过所给全部插值节点的，这将使插值 函数保留数据的全部测量误差，并如前述，当插值函数的阶数较高时，曲线摆动很大， 而求得的差值函数与实验规律可能偏离甚远。显然这种插值方法的效果是不理想的。 数据拟合构造的数学函数可能从整体上较好地逼近列表函数f (x)。以下我们采用多项式应用最小二乘法来构造拟合列表数据的数学函数。最小二乘法法拟合数据所得多项式可看作列表函数y = f (x)的近似表示式，进而也可 以用它
12、来代替f (x)的近似表示式，进而也可以用它来代替f (x)进行求导和积分计算。 多项式数据拟合设用一个m次多项式p (x)二 a + ax + a x 2 +. + a xm(1.1.1)m012mm=乙 a xjjj=0来拟合一组数据(x , y )， i = 0,1,.,n。i i设节点x处，p (x )的偏差为im iR = p (x ) - y(1.1.2)im ii最小二乘法的基本思想是对所有数据点，拟合函数P (X)的偏差R的平方和i亍 2 V2二乙R = p (x ) y ii=0=X忆axj- y fj i ii=0 i=0m iii=0(1.1.3)取最小值。由于(x ,y
13、 )为已知，故将视作p (x)的系数a (j = 0,1,.,m)的函数。不同的拟i imj合多项式，有不同的一组系数a，因而有不同的值，即j=(a , a，,a )01m于是上述数据拟合问题便归结为求多元函数的极值问题。欲使=(a(1.1.4),a，,a )取极01m小，则a ,a，,a必须满足条件0=0 k = 0,1, . . m, dak(1.1.5)(1.1.3)式求偏导数，可得(1.1.6)dy ( )t dp(x)2 p (x ) y m -dam i idaki=0k=2y p (x ) y xkm ii ii=0=2工X a x j+k y x k j ii ii=0 j=0
14、a x j+k y x kiii ij=0i=0i=0k = 0,1,., m(1.1.6)式等于零，有工a工xj i j=0(1.1.7)i=0i=0= Xxl(1.1.8)ii=0y xki ii=0丿(1.1.7)可表示为: as=tk = 0,1, . . m,(1.1.9)j j+k mj =0这是一个m +1阶对称的线性方程组，称为正规(N ormal)方程组，具体写出来就是s a + s a +. + s a = t0011m m 0s a + s a +. + s a = t1 0 2 1m+1 m 1 (1.1.10)s a + a a +. + s a = tm 0 m+1 12 m m mJ此方程组的系数行列式不为零，故它有唯一解。将解得系数a ,a，,a，代入(1.1.1)01m式，即可得所要求的拟合多项式。在实际应用中，mn或m n ；当m = n时所得的拟合多项式就是Lagrange或 Newton插值多项式，如所指出的，这对于数据拟合效果并不好，此外，如若选择稍大 的m，即次数稍高的多项式作数据拟合，方程组(1.1.10)的系数矩阵式病态的。1.2回归分析的基本概念1函数与相关关系在生产和科学实验中，人们常遇到各种变量。从辩证唯物主义观点来看，这些变量 之间是相互联系、相互依存的，它们之间存在着一定得关系。人们通过实
