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1、行列式计算7种技巧7种手段编者:Castelu【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象，是线性代数中的一个最基本，最常用的工具，记为det（A）.本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性，其计算的重要性也不言而喻，因此，本人结合自己的学习心得，将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此，供已具有行列式学习基础的读者阅读 一 .7种技巧：【技巧】所谓行列式计算的技巧，即在计算行列式时，对已给出的原始行列式进行化简，使之转 化成能够直接计算的行列式，由此可知，运用技巧只能化简行列
2、式，而不能直接计算出行列式 技巧1：行列式与它的转置行列式的值相等，即D=Dt技巧2:互换行列式的任意两行（列，行列式的值将改变正负号&1&2a2ia22MManian2K而La2 nMKanna2ia22aii&2MManian2Ka2n技巧3:行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面banbai2K 打即aii&2 Kainb?a2ib2 a22Kb2 a2 na21a22Ka2nnbMMMM MMbni 1b1anibnan2Kbn annanian 2K annLa1nMKannanai2Kainaiia2iKania2ia22La2 na12a22Kan2MMM
3、MMManian2Kannaina2 nKann技巧4:行列式具有分行（列）相加性ana12KMMbictibt2Ct2KMManian2KainMCtnMannaiiai2KMMhibt2KMManian2KainM btnMannaiia12KainMMMCtiCt2KctnMMManian2Kann技巧5:将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k后加到另一行（列）对应的元素上 彳亍列式的值不变a11a12Ka1 na11a12Ka1nMMMMMMas1as2Kasnas1kat1as2 kat2KasnkatMMMMMMat1at2Katnat1at2KatnMMMMMMan1an2K
4、annan1an2Kann而Ka1m0K0MMMMam1Kamm0K0c11Kc1mbnKb1nMMMMcn1Kcnmbn1KbnnKa1mb11KbinMMMMam1Kaammbn1Kbnn技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积技巧7:拉普拉斯按一行（列）展开定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和nnDakAk(i 1,2,L ,n)akjAkj(j 1,2,L ,n)k 1k 1二.7种手段：【手段】所谓行列式计算的手段，即在计算行列式时，观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式，只要它们符合已知的几种行列式模型，就可以直接计算出这些行
5、列式手段1:对于2阶行列式和3阶行列式，可以直接使用对角线法则进行计算a）1a12&e22a2a21a21a22a11a12a13a21 a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32al1a23a32a12a21a33a13a22a31a31a32a33手段2:对于4阶以上的行列式，若行列式中有很多元素为零，则根据定义进行计算较为方便 否则较为复杂（常见于计算机程序和数学软件）a11Kana21a22La2nMMMan1an2Kann定义:(1)5吼件%住户2,1 anpnP1P2L Pn运用数学软件 Matlab按定义计算4阶行列式： syms a b c d e f
6、g h i j k l m n o p A=a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,pA =a, b, c, de, f, g, hi, j, k, lm, n, o, p det(A)ans =a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c *l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l- m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*
7、g，副对角线行列式手段3:上三角行列式，下三角行列式，主对角线行列式a1 a2 Kana110 K 00a22La2 nna21a22L 0naii，aiiM MMi 1M MMi 100 Kannan1an2Kann11 2Ln（其余未写出元素均为零）,1n（n 1）（1）- 1 2L n（其余未写出元素均为零）手段4:若行列式中有两行（列）对应元素相等，则此行列式的值等于零a a e i b b f j c c g k d d h le f g h手段5:若行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零0 a0 b0 c0 d手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例，则此行列式的值等
8、于零a ka e i b kb f j c kc g k d kd h l手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式11KXx2Kn 1xn(xi xj)n i j 122x1x2KMMn 1n 1x1x2K三.跟踪训练【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段，本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时，一般先观察题目所给出的原始行列式，若原始行列式能够用 7种手段的其中一种进行计算，则可直接得出答案，否则，一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简，使 之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式，再得出答案.读者在利用7种技工5时， 要注意技巧之间的搭配使用 计算下列
9、行列式的值：习题1:120114318解答：120114 1 1 8 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1)318手段1习题2:0bf0000da00000ce解答：0 b f 00 0 0 da 0 0 00 0 c eP1P2P3P4(1)(PlP2 P3P4)ap11ap22ap33ap44观察行列式中元素0勺位置及由4级排列中各数不能相等知R 3,P2 1,P3 4, P4 2, (PiP2 P3 P4)(3142) 3.因此(1) a31a12a43a24abcd手段2习题3:12345678910111213141516解答：
10、113 15 17 1 09 1 11 113 1 15 11234l5678c2cl9101112 c4c3131415161技巧5,手段4习题4:333 x333x333x333x 3333解答：33333 x 3x 33x 3x 33x334x 3x33c1ci3i 2x x 3333x 3333x 333x33333x 333333310003 3x30xxx0x00x10r2r3 x=03 3x3x0x4x0xx技巧2,技巧3,技巧5,手段3习题5:31bl a1b2 现 b2 a2b2ad a2b3 a1b4 a2b4解答：ah a1b4 32 b3 32 b4 a3b3 a3 b
11、4 33b4 a4 b4按第一列展开,a2 b2aibi a2b3a2 b4aE他a1b4a2 t3a3b3a3b4b2D a1a2b|b4 a2b3 a2(a1a2隔a2b2a2aa2b4a2 b4 a3 b4 a4 b4由于行列式a2b2a2b4aEaha2b4 和 a2b2a4b4a2b3b3 a3 b3 a3aib3 ah a2 b3 a2b4 a3 b3 a3 b4 ag a adbd血aE a2b3a2b4b4a3 b4a4a；b2b4)(a3a4b2b3aib3 a3 b3 a3b4aib4a3b4a4b4aib2 a1b3 a2b2a2b4aha2 b3a3 b4aha2b4a4b4aidah a2b2 a2 b3*3*4a2b3a2b4有两行元素成比例，因此值为0,a3b3a3b4b2 a；b2b4 a2b3a20a3b3a3b4a3 b4a4a2 a3b3b4a2a4b：a2b2 b4)b22.(a1a2bb4 a1b2b4) a2b3a2ah a1b4 a2 b3 a2 b4 a3b3 a3b4b3b4a3b3 a3 b4a3a4a1b4(a2b1 a1b2)a4b3(a3b2 a2b3) a3b4 (a2b3 a3b2) aib4(a2bl ab2)(a3b2 a2b3)(a4b3 a3b4)
