多次相遇和追及问题

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1、文档3-1-3屡次相遇和追与问题教学目标1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决屡次相遇和追与问题3. 能够利用比例解多人相遇和追与问题知识精讲板块一、由简单行程问题拓展出的屡次相遇问题所有行程问题都是围绕“这一条根本关系式展开的，多人相遇与追与问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉与的数量，问题即可迎刃而解【例 1】 难度等级甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【解析】 从开始到两人第十次相遇的这段时间，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为米，因为甲的速度为每

2、秒钟跑米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间甲共行了米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行米才能回到出发点【巩固】 难度等级甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟共相遇几次？【解析】 17一共六百秒，第一次相遇是两人总共跑一个90米，以后是180米相遇次。相对速度每秒五米。第一次相遇是18秒。180米相遇需要36秒。此后是582秒总共有16次。所以相遇17次。【解析】【巩固】 难度等级甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，每秒钟甲比乙多走米，那么两人第五次

3、相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?【解析】 176甲乙每分钟速度和:400560=6米甲每分钟:(250+6)2=128米1288400=2.224相遇点与A最短路程为400-224=176米【解析】二、运用倍比关系解屡次相遇问题【例 2】 难度等级上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【解析】 画一简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44千米.而爸爸骑的距离是 4 8 12千米.这就知道，爸爸骑摩

4、托车的速度是小明骑自行车速度的 1243倍.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8324千米.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了41216千米.少骑行24-168千米.摩托车的速度是88=1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.881632.所以这时是8点32分。【例 3】 难度等级甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇求A、B两地间的距离是多少千米？【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意

5、味着两车共行了三个A、B两地间的距离当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即953=285千米，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：953-25=285-25=260(千米)【巩固】 难度级别甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【解析】 43=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=

6、9千米，所以两次相遇点相距9-3+4=2千米。【巩固】 难度等级甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【解析】 4千米【巩固】 难度等级甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B 多远.【解析】 12千米【巩固】 难度等级甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A

7、地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【解析】 90千米【巩固】 难度等级甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.【解析】 4千米【巩固】 难度等级甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.【解析

8、】 41千米【例 4】 难度等级如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长【解析】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即1003=300米有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米【巩固】 难度等级如图，A、B是圆的直径的两端，小在A点，小

9、王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.【解析】 360【巩固】 A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【解析】 340三、屡次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程； 第2次相遇，共走3个全程； 第3次相遇，共走5个全程； ， ； 第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2. 同地同向出发：第1次相

10、遇，共走2个全程； 第2次相遇，共走4个全程； 第3次相遇，共走6个全程； ， ； 第N次相遇，共走2N个全程；3、多人屡次相遇追与的解题关键屡次相遇追与的解题关键 几个全程多人相遇追与的解题关键 路程差【例 5】 小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟在这段时间，他们迎面相遇了多少次？【解析】 第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：(秒)此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了(秒)求出710秒两人相遇的次数再加上第一次相

11、遇，就是相遇的总次数列式计算为：(秒)，共相遇(次)。注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以与以后每次相遇两人合跑的路程长【例 6】 、两地间有条公路，甲从地出发，步行到地，乙骑摩托车从地出发，不停地往返于、两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达地时，乙追上甲几次？【解析】由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在(分钟)所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度，即等于甲在()分钟所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍()，如此的长为的9倍，所以，甲从到，共需走(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个全程

12、从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追与时间也变为200分钟()，所以，在甲从到的800分钟，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟【例 7】 难度等级甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后继续行进，甲到地、乙到地后立即返回两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，、两地相距千米【解析】 由于甲、乙的速度比是，所以在一样的时间，两人所走的路程之比也是第一次相遇时，两人共走了一个的长，所以可以把的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个，乙走了份；第三次相遇时，甲、乙

13、共走了五个，乙走了份 乙第二次和第三次相距106=4份所以一份距离为：1004=25千米，那么、两地距离为：525125千米【巩固】 难度等级小王、小二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，如此甲、乙两地的距离为千米【解析】 由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于此题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追与如果第二次相遇为迎面相遇，如如下图所示，两人第一次在处相遇，第二次在处相遇由于第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了3千米；从第一次相遇到第二次

14、相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了千米，由于、之间的距离也是3千米，所以与乙地的距离为千米，甲、乙两地的距离为千米；如果第二次相遇为同向追与，如上图，两人第一次在处相遇，相遇后小王继续向前走，小走到甲地后返回，在处追上小王在这个过程中，小王走了千米，小走了千米，两人的速度比为所以第一次相遇时小也走了9千米，甲、乙两地的距离为千米所以甲、乙两地的距离为千米或12千米【巩固】 难度级别A，B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？【解析】 第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。这样根据总结：2个全程里乙走了54034=1804=720千米，乙总共走了7203=2160千米。【例 8】 难度级别小与小王分别从甲、乙两