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1、第九章 振动9-1简谐运动 振幅 周期和频率 相位一、 简谐振动1 机械振动定义：物体或物体的某一部分在一定位置附近来回往复的运动实例: 心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等周期和非周期振动2 简谐振动 简谐运动：最简单、最基本的振动 弹簧振子的振动如图所取坐标，原点O在m平衡位置。现将m略向右移到A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性力作用下，物体向左运动，当通过位置O时，作用在m上弹性力等于0，但是由于惯性作用，m将继续向O左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩，而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左运动，使m速率减小，直至物体静止于B（瞬时静止），之后物体
2、在弹性力作用下改变方向，向右运动。这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 振动的成因: a 回复力 b 惯性轻弹簧 k + 刚体 m (平动质点）k：集中弹性m：集中惯性回复力和物体惯性交互作用形成谐振动3 弹簧振子的运动分析简谐振动的运动方程由上分析知，m位移为x（相对平衡点O）时，它受到弹性力为（胡克定律）： (9-1)式中： 当即位移沿+x时，F沿-x，即当即位移沿-x时，F沿+x，即为弹簧的倔强系数，“”号表示力F与位移x（相对O点）反向。定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，加速度为 （为物体质量）、均大于0，可令
3、 可有： (9-2)式(9-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为 (9-3)或 (9-4)式(9-3)(9-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。谐振动的速度和加速度物体位移：速度： (9-5)加速度： (9-6)可知：、曲线如下图9-2图9-3说明：（1）是谐振动的动力学特征；（2）是谐振动的运动学特征；（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。二、 振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做。反映了振动的强弱。三、 周期、频率物体作一次完全振动所经历的时间叫
4、做振动的周期，用表示；在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用表示。由上可知： 或 为周期，从时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来时刻状态，（余弦函数周期为） 可见：表示在秒内物体所做的完全振动次数，称为角频率（圆频率） 对于给定的弹簧振子，、都是一定的，所以、完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。四、 位相在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当、给定后，物体的位置和速度取决于，称为位相（或周相、相位）。由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。是时的位相，称为初相。五、 、的确定对于给定的系统，
5、已知，初始条件给定后可求出、。初始条件：时 由、表达式有 即即 （9-7） （9-8）值所在象限：1），：在第象限2），：在第象限3），：在第象限4），：在第象限两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体1和2的谐振动方程为 图 9-4任意时刻二者位相差为：2的位相比1超前：2、1同位相：2的位相比1落后例9-1：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知，试求下列情况下的振动方程。（1）将从平衡位置向右移到处由静止释放；（2）将从平衡位置向右移到处并给以向左的速率为。解：（1）的运动方程为由题意知：初始条件：时，可得： 图9-5 ， 2） 初始条件：时， 可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振
6、幅和初相就有相应的改变。例9-2：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。(1)证明：当摆角很小时小球做谐振动；(2)求小球振动周期。证：（1）设摆长为，小球质量为，某时刻小球悬线与铅直线夹角为，选悬线在平衡位置右侧时，角位移为正，由转动定律： 有 图9-6 即 很小。 这是谐振动的微分方程（或与正比反向）小球在做谐振动。（2）（注意做谐振动时条件，即很小）9-2 旋转矢量在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。
7、一、旋转矢量自ox轴的原点o作一矢量，其模为简谐振动的振幅，并使在图面内绕o点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频率，矢量称为旋转矢量。二、简谐振动的旋转矢量表示法 图9-7（1）旋转矢量的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动，振幅为（2）旋转矢量以角速度旋转一周，相当于谐振动物体在x轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。（3）时刻，旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相，时刻旋转矢量与x轴夹角为时刻谐振动的位相。说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。（2）必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。旋转矢量与
8、谐振动曲线的对应关系（设） 图9-8三、旋转矢量法应用举例例9-3： 一物体沿x轴作简谐振动，振幅为，周期为。时，位移为，且向x轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设时刻为物体第一次运动到处，试求物体从时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：（1）设物体谐振动方程为由题意知 方法一用数学公式求, 图9-9方法二用旋转矢量法求根据题意，有如左图所示结果 由上可见，方法二简单（2）方法一用数学式子求由题意有：（） 或 此时 设时刻物体从时刻运动后首次到达平衡位置，有： 或 （） 方法二用旋转矢量法求由题意知，有左图所示结果，M1为时刻末端位置，M2为时刻末端位置。从内转角为 显然方法二简单。 图9
9、-10例9-4：图为某质点做谐振动的曲线。求振动方程。 解：设质点的振动方程为由图知： 图9-11用旋转矢量法（见上页图）可知， （或 ） 例9-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动，为振幅，时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。 图9-129-3 单摆和复摆 一、单摆转动正向oAm 令： （9-9）*（C点为质心）转动正向CO二、复摆 令： （9-10） （角谐振动）三、简谐运动的描述和特征（1）简谐振动的动力学描述（受线性回复力作用）平衡位置（2）简谐运动的运动学描述或：（3）简谐运动的运动学描述9-4 简谐运动的能量对于弹簧振子，系统的能量=（物体动能）+（弹簧势能）已知：
10、物体位移 物体速度 （9-11）说明：（1）虽然、均随时间变化，但总能量且为常数。原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。（2）与互相转化。当时，。在处，。例9-6：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为。试求的位置。解：设弹簧的倔强系数为，系统总能量为在时，有 例9-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数，物块，物块，与间最大静摩擦系数为，与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使在振动中不致从上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。解：系统的总能量为（此时）不致从上滑落时，须有 图9-13极限情况 即 9-5 简谐运动的合成一、两个同方向同频率简谐振动的合成一个物体可
11、以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。取振动所在直线为x轴，平衡位置为原点。振动方程为、分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；、分别表示第一个振动和第二个振动的初相。是两振动的角频率。由于、表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即为简单起见，用旋转矢量法求分振动。 图9-14 图9-15如图所示，时，两振动对应的旋转矢量为、，合矢量为。、以相同角速度转动，转动过程中与间夹角不变，可知大小不变，并且也以转动。任意时刻，矢端在x
