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1、大一学的高数重点知识第一讲函数、连续与极限一、理论要求1. 函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2. 极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3. 连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数
2、列与级数的性质）1. arctan x - x r arctan x - x 1hm = lim 二一一（等价小量与洛必达）2.已知sm6x + VW=a 求临 6 + 笋S-U7-K-U 工临 sin 6x + xf(x) 蛔 6 cos 6x + /(x) + xy5 x3 53 技 - 36sin 6x+2y -xy r - 216cos 6x+3 +xy=lim= lim x-e6x206= -2i6+3yw = 0. yi(0) = 72临竺祭5勺临堂365工 I。眼5 22（洛必达）3.2x lim （M）z质工+1（重要极限）4. 已知a、b为正常数，求蜩号1（变量替换）5.解：
3、令6.（变量替换）/ _ jlnfcos x）x2,x 07.已知插成=。在乂二0连续，求aa = lim ln（cos 工）/工=-1/ 2解：令（连续性的概念三、补充习题（作业）Em厂=35小_m（洛必达）2.（洛必达或Taylor）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分2.微分中值定理3.应用导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题
4、型与解法A.导数微分的计基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求办2. =心)由匝(+对=石+皿工决定，求T 解：两边微分得x=0时- yQsx y，将 x=0代入等式得y=iS-03尸7由技=疽V决定，则渤房二峪-1)心B.曲线切法线问5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足 题f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在(6，f(6)处的切线方程。解：需求了J0)或，等式取x-0的极限有：f(1)=0 临(1+sin x) 3/(1 sin x)x-esin x堂晚加+)/+矛1尸=4/(1) = 8 /l(l
5、) = 2- =2(x-6)C.导数应用问题&.已知7 =川闵一切成足矿+ we” =-， 若广=，求(如时点的性质。牛气代入，严知=；解：令。3币，故为极小值点。7. 一1尸，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域E(P1)U(L+%)y= 0 =驻点工=0及工=3_/= 0 =拐点工=0;工=1：铅垂；y = x + 2x斜8.求函数y =(Wg的单调性与极值、渐进线。y= 旦策s+g” n驻点盂=0与工=1解： 1+工，渐：y = es(x-2)y = x-21. 0）的渐进线方程为y = x + -3.3. 证明x0时，b-。匝点-蛆g=（ - l）ln工-（工-1）睫，
6、（以矿，矿以）=竺 证：令工g(D*(l)=O,矿(1) = 2 0六（1用）,矿0,虹2万虱0)齿七0*丘(Loo).g% 0 S 51一.填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）11.2.lim (ex - x)x2 =x T 0J 1 x (1 + x2005 )(ex - e -x )dx =-i3. 设函数y = y(x)由方程J1 e dt = x确定，则dx x=0 =.4. 设 / (x)可导，且J 1f(t)dt = f(x)，/(0) = 1，则/ (x) =5. 微分方程y +4 y +4 y = 0的通解为.二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）f (x) =
7、 ln x - + k1. 设常数k0，则函数e 在(0, + 8)内零点的个数为( )(A) 3 个；(B) 2 个；(C) 1 个；(D) 0 个.2. 微分方程y+ 4y = 3cos 2x的特解形式为().(A) y* = A cos 2x ；( b) y * = Ax cos 2x ；(C) y* = Ax cos 2x + Bx sin 2x ；(d) y * = A sin 2x .3.下列结论不一定成立的是（)(C)若f G）是周期为T的连续函数，则对任意常数a都有J a+T f G)dx =f T f G)dx a0（A）若L,d5,b项必有：fG认G认；(B)若 f (x)
8、 0在 ta,b 上可积，则J(X - 0（D）若可积函数f G）为奇函数，则0 f 也为奇函数.f G ）=14.设 2 + 3 ex ,则 x = 0 是 f （x）的（ ）.（A）连续点；（B）可去间断点;（C）跳跃间断点;（D）无穷间断点.三.计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）2, 计算定积分J 0 x 3 e 一 .1.2.j x sin x d 计算不定积分cos 5 x3.f x = a (t 一 sin t),=-求摆线Q = 61 (1 - cos t),在 2处的切线的方程.4.设 F (x) = J x cos( x2 一 t) dtU (n + 1)( n +
9、2)( n + 3)(2 n)lim xnn t 8四.应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1.求由曲线y =八-2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.2.设平面图形D由x2 + y2 V 2x与y X所确定，试求D绕直线X = 2 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设a 1, f。)= aat在(-8 , +8 )内的驻点为t (a).问a为何值时t (a)最小？并求 最小值.五.证明题(7分)1f (0)= f (1) = 0, f (一)= 1,设函数f (x)在0,1上连续，在(0,1)内可导且2试证明至少存在一点& e (0,1),使得f (& )=L一.填空题(每
10、小题4分，5题共20分):十1.2.lim (ex - x)x2 =110e 2 .j 1 x G + x2005 )ex - e-x )dx =-1e3.设函数y = y由方程j 1 e dt = X确定，则dx x=0 = e - 1.r( )j x tf (t) dt = f (X)( )24. 设f (x )可导，且1, f (0)=】，则f顷=e 2X .5. 微分方程 +4 y +4 y = 0 的通解为 y =( C1 + C 2 X ) e - 2 X.二.选择题(每小题4分，4题共16分)：f ( x ) = ln x - + k1. 设常数k 0，则函数e 在(0, + 8
11、)内零点的个数为(B ).(A) 3 个；(B) 2 个；(C) 1 个；(D) 0 个.2. 微分方程y +4 y = 3 cos 2 x的特解形式为(C )(A)y*= A cos 2x ；( b)y* = Ax cos 2x ；(C)y*= Ax cos 2x + Bx sin2x；( d)y * = A sin 2x3. 下列结论不一定成立的是(A )(A)(A)若c,dM,b项必有Jdf G认Jf G认(B)(B)若f (x) 0 在(a,b上可积，则f G膈-0(C)(C)若f G)是周期为T的连续函数，则对任意常数a都有 a+T f G )dx =j T f G )dx(D)(D
12、)若可积函数f G)为奇函数，则j * t f (t) dt也为奇函数.f G )= -1+4.设(A)2 + 3 ex ,贝 |J x = 0 是 f (x)的连续占八、j(C(B).可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.三.计算题(每小题6分，5题共30分):1.计算定积分J 02 x 3 e -x2dx人 设x2 = t ,则解：dt00212-te - - j e-dt2 L 0 01213e -2 e -1=-一 e2022-2=匕2 .2,J x3 e - x 2dx-L j2 tde -12.计算不定积分x sin x dx cos 5 xx sin xJdx解：cos
13、 5 x1一 一J xd (4cos 4 x 4J dxcos 4 x cos 4 x-j (tan 2 x + 1) d tan x4 tan 3 x - tan x + C1244 cos 4 x4 cos 4 xf x = a (t - sin t),兀t =3.求摆线y =a(1 - cos t)，在 2处的切线的方程.解：切点为兀(a ( - 1), a)2a s i nt狂 a (1 - c o st)y - a = x - a(生-1) y = x + (2 -)a切线方程为2 即2i 1,xdx = 2 In 2 - 124. 设 F (X) = 0 C0S( X )也，则 F (x) = 2x cos x2 - (2x - 1) cos( x2 - x) (n
