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1、故障诊断结课论文论文题目： matlab中小波工具箱对噪声信号处理的应用姓名：王旭东班级：机械082学号：0802070233指导教师：关山matlab中小波工具箱对噪声信号处理的应用摘要：简述小波分析的数学原理和小波分析在故障诊断中的应用机理,分析小波变换在故障诊断中探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，尤其是对机械振动信号分析中运用小波分析来检测噪声信号，本文就以matlab为工具进行简单的去噪分析。关键词: 小波分析 图像分析 小波去噪 1.小波分析的原理1.1 什么是小波分析小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信
2、号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到?名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年?名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法?多尺
3、度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。 1.2 小波变换的基本理论传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础之上的
4、，在众多科学领域， 特别是在信号处理、图像处理、量子物理等方面，傅立叶变换是重要的应用工具之一。小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它既继承和发展了短时傅立叶变换的局部化思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化的缺点，是进行信号时频分析，处理时变非稳态信号的比较理想的工具。以下是对小波变换的定义。1.1.1连续小波变换小波函数的定义为:设为一平方可积函数,即(R),若其傅里叶变换满足条件: (1)则称为一个基本小波或小波母函数。式(1)称为小波函数的可容许条件,该条件蕴含着,即函数具有零均值。将小波母函数经尺度伸缩和时间平移,便得到一个函数子波簇,其形式为:a,bR; a 0 (2)式中a
5、,b伸缩,平移尺度因子;(a,b)(t)依赖于参数a,b的小波基函数。将一个信号f(t)在这个小波基下展开,就得到连续小波变换: (3)式中()的复共轭;R实数域;a,b伸缩因子,平移尺度因子,在取值范围内连续变化。改变伸缩因子a的大小可以改变窗口的形状,调整子波覆盖的频率范围,实现在频域内的平移。改变平移因子b的大小,可以调整子波的时域窗口的位置,实现小波窗口在时域内的平移。系数用来实现子波能量的归一化。由小波变换公式(3)可以看到,每个变换系数是信号与伸缩尺度为a、时移尺度为b的子小波的内积,它衡量着信号与该子波的相似性。越大,说明越相似。因此,为了能够有效地揭示出信号的特征成分,需要选择
6、合适的基小波。尽管变换窗的面积大小固定，但形状各异。对于尺寸参数a较大，即中心频率小，则窗变宽，分辨率在时域或空间域增加，在频域减少;反之，则窗变窄，分辨率在时域或空间域减少，在频域增加。这相当于参数a的变化不仅改变连续小波的频谱结构，而且也改变其窗口的大小与形状，如图1-1所示。为了比较分析，如图1-2给出了窗口傅立叶变换的基函数和时间-频率图。 图1-1 小波变换的时间-频率窗 图1-2 傅立叶变换的时间-频率窗由图可知，傅立叶不同小波变换的是，此时的分析窗的形状和大小与频率无关且保持不变，所以分析的分辨率在整个时间-频率平面上不变。连续小波变换具有以下重要性质：（1）线性性：一个多分量信
7、号的小波变换等于各个分量的小波变换之和（2）平移不变性：若f（t）的小波变换为，则的小波变换为（3）伸缩共变性：若f（t）的小波变换为，则的小波变换为，（4）自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：（1）由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号f（t）的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。（2）小波变换的核函数即小波函数存在许多可能的选择（例如，它们可以是非正交小波、正交小波、双
8、正交小波，甚至允许是彼此线性相关的。小波变换在不同的（a，b）之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中的主要问题之一。1. 3离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波和连续小波变换的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和连续平移参数b的，而不是针对时间变量t的。这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。在连续小波中，由式3可通过对其伸缩度因子a和平移标度因子b的取样而离散化。如果对a和b按如下规定律取样： 其中，则由式3有： (4)这样离散小波变换可定义为：
9、(5)因此，离散小波变换式5也是一种时频分析，它从集中在某个区间上的基本函数开始，以规定步长向左或向右移动基本波形，并标度因子来扩张或压缩以构造其函数系。一系列小波由此而生，这就是“小波”一词的由来。这里m和n分别称为频率范围指数和时间步长变化指数。由于正比于，故高频时（对应于小的m值）高度集中，反之亦然；步长的变化则与n成正比。从离散小波变换式5重构函数信号，算子：必须是一有界可逆算子，即对于某个A0,B：A 对于一切成立。其中表示二元平方可和序列矢量空间，范数。实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算CWTa,b值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换(D
10、wT)。大多数情况下是将尺度因子和位移参数按2的幂次进行离散。最有效的计算方法是sMallat于1988年发展的快小波算法(又称塔式算法)。对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分称为近似部分)和离散部分(称为细节部分)。近似部分代表了信号的主要特征。第二步对低频部分再进行相似运算。不过这时尺度因子已经改变。依次进行到所需要的尺度。除了连续小波(CWT)、离散小波(DWT)，还有小波包（Wavelet Packet）和多维小波。2.matlab中小波工具箱去噪应用2.1.小波分析对信号降噪的基本原理一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (6)其中，为含噪信号，为有用信号，为噪
11、声信号。这里我们认为是一个1级高斯白噪声，通常表现为高频信号，而实际工程中通常为低频信号或者是一些比较平稳的信号。因此我们可按如下的方法进行降噪处理。首先对信号进行小波分解，一般地，噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，从而，可利用门限阀值等形式对所分解的小波系数进行出来，然后对信号进行小波重构即可达到对信号降噪的木的。对信号降噪实质上是一直信号中的无庸部分，恢复信号中有用部分的过程。噪声在小波分解下的特性在此，我们将噪声e看做普通信号分析以下它的相关性、频谱和频率分布这3个主要特征。总体上，对于一维离散信号来说，其高频部分所影响的是小波分解的第一层细节，其低频部分所影响的小波分解的最深层和低
12、频层。如果对一个仅由白噪声所组成的信号进行分析，则可得出这样的结论：高频系数的幅值随着分解层次的增加而迅速地衰减，且其方差也有同样的变化趋势。在这里用表示对噪声用小波分解后的系数，其中，j表示尺度，k表示时间，对离散时间信号引入如下的属性：（1） 如果e是一个平稳、零均值的白噪声，那么它的小波分解系数是相互独立的。（2） 如果e是一个高斯型噪声，那么其小波分解系数是互不相关的，且服从高斯分布。（3） 如果e是一个平稳、有色、零均值的高斯型噪声序列，那么他的小拨分解系数也是高斯序列，并且对每一个分解尺度j，其相应的系数是一个平稳、有色的序列。如何选择对分解系数具有解相关性的小波是一个很困难的问题
13、，在目前也没有得到很好的解决。进一步需指出，即使存在一个小波，但是它对噪声的解相关性取决于噪声的有色性，为了用小波计算噪声的解相关性，必须知道噪声本身的颜色。（4） 如果e是一个固定的零均值ARMA模型，那么对每一个小波分解尺度j，也是固定的零均值ARMA模型，且其特性取决于尺度j。（5） 如果e是一个噪声： 若其相关函数已知，则可计算系数序列和; 若其相关函数谱已知，则可计算的谱及尺度j和的交叉谱。2.2小波降噪的步骤和方法一般而言，一维信号降噪的过程可分为如下3个步骤。（1） 信号的小波分解。选择一个小波并确实分解的层次，然后进行分解计算。（2） 小波分解高频系数的阀值量化。对各个分解尺度
14、下的高频系数选择一个阀值进行软阀值量化处理。（3） 一维小波重构。根据小波分解的底层低频系数和各层高频系数进行一维小波重构。 这3个步骤中，最关键的是如何选择阀值及如何进行阀值量化，在某种程度上，它关系到信号降噪的质量。 应用一维小波分析进行信号降噪处理，主要通过前面介绍的两个函数wden和wdencmp来实现。wden函数返回的是经过对原始信号s进行降噪处理后的信号sd。wdencmp函数是一种使用更为普遍的函数，它可以直接对一维或二维信号进行降噪或压缩，处理方法也是通过对小波分解系数进行阀值量化来实现。小波分析进行阀值处理一般有下述3种方法。（4） 默认阀值消噪处理。该方法利用函数dden
15、cmp生成信号的默认阀值，然后利用函数wdencmp进行消噪处理。（5） 给定阀值消噪处理。在实际的消噪处理过程中，阀值往往可通过经验公式获得，且这种阀值比默认阀值的可信度高。在进行阀值量化处理时可用函数wthresh。（6） 强制消噪处理。该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。这种方法比较简单，且消噪后的信号比较平滑，但是容易丢失信号中的有用成分。2.3运用实例小波变换工具箱中有用于一维小波分解的函数为wavedec.m。下面对一含噪的正弦信号进行小波分析以此观察其功能和特征。信号表达式为：对信号应用db3小波对上式信号进行5层分解，其matlab编程程序代码如下：%生成含噪正弦信号N=2048;t=1:N;sig=sin(0.03*t);figure(1);plot(t,sig,LineWidth,2);xlabel(时间 t/s);ylabel(幅值 A);title(
