微分与几何课后习题答案

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1、第一章事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。（1）1 0 件产品中有1 件是不合格品，从中任取2 件得1 件不合格品。（2）一个口袋中有2个白球、3 个黑球、4个红球，从中任取一球，（i）得白球，（i i）得红球。解（1）记 9 个合格品分别为正“正”,正门记不合格为次，则Q =（正I，正2），（正I，正3），（正I，正9）,（正I，次），（正2，正3），（正2，正4），（正2，正9），（正2，次），（正3，正4）,，（正3，正9），（正3，次），（正8，正9），（正8，次），（正9，次）A=（正-次），（正2，次），（正9，次）（2）记 2个白球分别为四，七

2、，3 个黑球分别为仇，b2,4,4个红球分别为 八,r2,6，0。则 Q =0 ,g ,伉，b2,h3,rt,r2,q ,r4（i ）A=囚，七 （i i）B=八，r2,r3,r4 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。（1）叙述A8 心的意义。（2）在什么条件下A BC=C 成立？（3）什么时候关系式C u B 是正确的？（4）什么时候N=8成立？解（1）事件A8 心表示该是三年级男生，但不是运动员。（2）A BC=C等价于C uA B,表示全系运动员都有是三年级的男生。（3）当全系运动员都是三年级学生

3、时。（4）当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时-1.3 一个工人生产了 个零件，以事件4表示他生产的第i 个零件是合格品（1/1 ）用片表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅仅只有一个零件是不合格品；（4）至少有两个零件是不合格品。解 RA,；（2）QA=UA：0区（仆人渊；i=l i=l=1 i-j=l评(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为i.j=l1.4 证明下列各式：(1)AJB=BJA;(2)A c 8 =8 c A(3)(Ao B)u C=Ao(Bu C)；(4)(A c8)cC=A c(8cC)(5)(A uB)c

4、C =(AcC)u(BcC)i=l i=证 明(1)(4)显然，(5)和(6)的证法分别类似于课文第1 0-1 2 页(1.5)式和(1.6)式的证法。1.5 在分别写有2、4、6、7、8、1 1、1 2、1 3 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为=8x7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、1 1、1 3 中的两个，或为2、4、6、8、1 2 中的一个和7、1 1、1 3 中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含用+2 A；x 4；=2 x 3 x 6 个样本点。于是1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、90从

5、这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解 样本点总数为(；)=1 0。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7 或 3、7、9 或多或5、7、9。所以事件4 “所取三条线段能构成一个三角形”包含3 个样本点，于是P(4)q。1.7 一个小孩用1 3 个字母4,4,4,。,H,/,/,加,汽,7,7作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的(等可能的)，问“恰好组成 M ATH E M ATI CI AN 一词的概率为多大？解 显然样本点总数为1 3!,事件A 恰 好 组 成 M ATH E M ATI CI AN”包含3!2!2!2!个样本点。所以 缶)=坦

6、坦=史1 3!1 3!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9 x 1 0-1=8 9 个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9 层中任意一层离开电梯，现有7 位乘客，所以样本点总数为9?。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”

7、相当于“从 9 层中任取7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是 寸1.10某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？解 用4 表 示“牌照号码中有数字8，显然p（,）=W-=1 2 丫，所以10000 10；P(A)=1-P(A)=100001.11 任取一个正数，求下列事件的概率：（1）该数的平方的末位数字是1;该数的四次方的末位数字是1；该数的立方的最后两位数字都是1；解（1）答案为当该数的末位数是1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是1,所以答（3）一个正整数的立方的最后两位数字

8、决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含IO2个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1，则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为。，则该数的立方的最后两位数字为1 和 3。的个位数，要使3 a 的个位数是1,必须。=7,因此A所包含的样本点只有71这一点，于是1.12 一个人把6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2 根草的情形。解（1）6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩

9、下的两个头相接，故对头而言有5 3 4种接法，同样对尾也有5 31种接法，所以样本点总数为(53)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5 31种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4 2。所以A包含的样本点数为(53 1)(42),于是P(A)=(5 3-1)(4-2)(53.1)2815(2)2 根草的情形和类似得1.1 3 把个完全相同的球随机地放入N个盒子中(即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称

10、球是不可辨的)。如果每一种放法都是等可能的，证明某一个指定的盒子中恰好有攵个球的概率为n-k J,0 k nTTT/丫 n-(2)恰好有2个 盒 的 概 率 为 以 上 竺 ，N-n m N-lTrT+J-1Y N-m+指 定 的m个 盒 中 正 好 有/个 球 的 概 率 为 11 n j J,(N +n-1 m N,0 j N.解 略。1.1 4 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。解所求概率为p(A)=1.1 5在AABC中任取一点尸，证明A48P与AABC的面积之比大于土口的概n率为Z-on解 截 取C ZT=LC。

11、，当且仅当点尸落入A。的 之内时AA8P与AA8C的面n积之比大于 土1，因此所求概率为n山、.2 J FF2AA8C 有面积 C M 1AA8C的 面 积 而2 2 21.1 6两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分 别 用 表 示 第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。因此所求概率为242-1 X232-1 x222P(A)=-2-；-=0.12124_1.1 7在线段4 5上任取三点/,2，与，求：(1)x2位于玉与与之间的概率。(2)A*,AX2，A

12、X3能构成一个三角形的概率。1 ,31 x 1 X 解 P(A)=-(2)P(B)=-3_ 2 _ 13 1 21.1 8在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形,该三角形的边长为a,Ac(均小于d),求三角形与平行线相交的概率。解 分 别 用AM2,A,表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然尸(4)=P(4)=0.所求概率为尸(4)。分别用Au，4r,，A,，A,i，A(f.,fcf 表 示 边 a,b,c ,二 边 a b,a c,b c 与 平 行 线 相 交，则尸53)=%46。4(,。4(,).显 然 尸(4)其4,)+/儿

13、)，P(4)=P(4Q+P(4,)，尸(A,)=P(4)+P(A J。所以I 2 1P(A3)=;P(A“)+P(4)+P(A(.)=；r_7(q+/7+c)=；(a+b+c)22 兀 d 7t a(用 例L 12的结果)1.1 9 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中A 8的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。1.2 0 甲、乙两人从装有。个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取 球，甲先取,乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这随机现

14、象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。尸(M)=kbP()a+bb个解。表示白，6 y 2表不黑白，伤表示黑黑白，。H 1表不黑黑白，则样本空间。=四，七，例+J，并且尸(例)=一，a+ha-,P(f 电、)=b -h-l-a-,a +b-1 a +b a +b-l a+b-2h-l h-(i-2)aa +h-+/?-(i-2)6 f+/?-(/-1)b l a (a+0)(。+。-1)a甲取胜的概率为P()+P(3 )+P(0 5 )+乙取胜的概率为 P()+P(。)+2(4 )+1.2 1 设事件A,B及AuB的概率分别为p、q及r,求尸(A B),P(A B),P(A B),P(A

15、B)解 P(A u B)=P(A)+P B -P(A B)P(A B)=P(A)+P(B)_ P(A u B)=p +q-rP(A a =P(A-A 8)=P(A)-P(A B)=r-q ,P(A B)=r-pP(A B)=P(A U B)=1 -P(A u B)=1 -r1.2 2 设4、4为两个随机事件，证明：(1)P(AH)=I-P(Q-哂)+P(TQ；(2)1 -P(A 1)P(AA2)P A(B u C)l =P(A B)+P(A C)-P(A BC)P(A B)+P(A C)-P(BC)1.2 4 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有4 5 除订乙报

16、的有3 5%,订丙报的有3 0%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8队同时订乙、丙两报的有5队同时订三种报纸的有3 船求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事 件 A 表示订甲报，事件3表示订乙报，事件C 表示订丙报。(1)P(A5C)=尸(A-A B u AC)=尸(A)-P(A B u A C)=3 0%(2)P A BC)=P A B-A BC)=7%(3)P(BAC)=尸-P(A3)+P(BC)-P(A5C)J =2 3%P(CA B)=P(C)-P(AC)+P(BC)-P(A BC)=2 0%P(A BC(J+BA C+CA B)=P(A BC)+P(BA C)+P(CA B)=73%(4)P(A BC+A CB+BCA)=P(A BC)+P(A CB)+P(BCA)=14%(5)P(A+8+C)=9 0%(6)P(A BC)=1 -P(A+5+C)=1 -9 0%=10%1.2 6某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回,在考试