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1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)解：a+4ab+4b=(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a,把它
2、后两项分成一组，并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解:m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m_5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果axb=m,cxd=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x-19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，
3、然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x+)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另
4、一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例7、分解因式2x-x-6x-x+2解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x2(x+)-(x+)-6令y=x+,x2(x+)-(x+)-6=x2(y-2)-y-6=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x+2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)&求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,x，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)例&分解因式2x+7x-2x-13x+6解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0通过综合
5、除法可知，f(x)=O根为，-3,-2,1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,x,贝y多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)例9、因式分解x+2x-5x-6解：令y=x+2x-5x-6作出其图象，见右图，与x轴交点为-3,-1,2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)分析：
6、此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解:a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)a-a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成X,即得因式分解式。例11、分解因式x+9x+23x+15解：令x=2,则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3x5x7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5，在x
7、=2时的值则x+9x+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例12、分解因式x-x-5x-6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd所以解得则xx5x6x4=(x+x+l)(x2x4)第三讲：因式分解一提公因式法知识要点】1、分解因式的概念把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项。2、分解因式与整式乘法的关系分解因式
8、与整式乘法的恒等变形。3分解因式的一些注意点结果应该是的形式；(2)必须分解到每个因式都不能为止；(3)如果结果有相同的因式，必须写的形式。4公因式多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式白.5. 提公因式法如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.(1) 确定公因式的方法系数公因式:应取多项式中各项系数为;字母公因式:应取多项式中各项字母为.重点辨析多项式的形式、，、.一sVy注意点多项式的首项系数为负数(1)首项为负数，一般要提出“-”号;(2)在括号内的多项式的各项都要变号.如一ma一mb+m
9、e=m(a+b一c)公因式是多项式公因式是多项式时，可把这个因式作为一个整体提出，如3m(a+b)2n(a+b)=(a+b)(3m2n)多项式的某一项恰是公因式提公因式后,括号内的项数，不增不减，特殊是某一项为1,千万不要漏掉此项，女口mamb+m=m(ab+1)底数需调整为同底数幕（a一b）2+（b一a）3可调整为：（a-b）2一（a一b）或（b一a）2+（b一a）3提公因式后，括号已见分晓有同类项提公因式后，如果括号内有同类项必须合并同类项，如(a一b)2一b(a一b)=(a一b)(a一b一b)=(a一b)(a一2b)提取公因式时的注意点1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些
10、不是?(1) x2+x=x2(1+)；x(m+n)(m-n)=m2-n2(5)3x2一2xy+x=x(3x一2y)2把下列各式分解因式9a2一6ab+3aa2-2b=(a+5)(a-5)-1x2+4x+4=(x+2)2(6)(x-3)(x+1)=x2-2x-3(2)-4x4y-6x2y3+2xy4经典例题】例1、把下列各式分解因式2)(1)2a(x-2y)-3b(x-2y)2a(x-2y)-3b(2y-x)-4c(x-2y)4)15b(3a-b)2+25(b-3a)35)(x-y)2-3(y-x)3+2(y-x)4(a+x)m+1(b+x)n-1-(a+x)m(b+x)n例2利用分解因式计算(
11、1)2.9x1234.5+11.7x1234.5-4.6x1234.5299-298(2)2100-299已知a+b=亍ab=2求代数式a2b+2a2b2+ab2的值。例4、利用因式分解说明：367一612能被140整除。随堂练习】1下列各式从左到右的变形中是因式分解的是()A、(a1)(a+b)=a2+a2B、C、xy=(jx+py)G-;x一*y)D、m(m+4)+4=(m+2)22.已知二次三项式2x2+bx+c分解因式2(x-3)(x+1)，则b,c的值为()A、b=3,c=1B、b=6,c=2C、b=6,c=4D、b=4,c=6下列各式的公因式是a的是()A、ax+ay+5B、4ma
12、+6ma2C、5a2+10abD、a24a+ma将3a(xy)b(xy)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是()A、3abB、3(xy)C、xyD、3a+b5.把多项式m2(a-2)+m(2a)分解因式的结果为()A、(a2)(m2+m)B、(a2)(m2m)C、m(a2)(m1)Dm(a2)(m+1)6.多项式2x2y-xy的公因式是;多项式是6a2b39ab2c3的公因式是。7.分解因式：xy一xy2=。a(m一n)3-b(n一m)3二(m一n)3()。8. 已知：a+b=133,ab=1000。a2b+ab2的值为。把下列各式分解因式(1)2a2b-6a2b2+2ab2(2)-3a2b
13、c2+12a3b2c2+9a2bc3(3) a(xy)b(xy)4)2(y一x)2一x(x一y)课后强化】1.3x2+mx4分解因式为(3x+4)(x1)，则m的值为。2.3xy6mxy+9nxy=3xy()a(xa)+b(ax)c(xa)=。3把下列各式分解因式(1)3x2y一6xy2+12xyz(2)3x2(x一y)+6x(y一x)2(x一y)3+4(y一x)2(4)a(a+b)(a一b)一a(a+b)2第四讲：因式分解公式法、分组分解法知识要点】1. 乘法公式逆变形(1) 平方差公式：a2一b2=(a+b)(a一b)(2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2一2ab+b
14、2=(a一b)22. 常见的两个二项式幂的变号规律：（a一b）2n=（b一a）2n；（a一b）2n一1=一（ba）2n一1.（n为正整数）3把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。学堂练习】1、如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A15B土15C30D土302、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）(4) m2一12m+361x2-xy+y24(6) 一x2+2xy一y2(7)x2一y2+ax+ay(8)4x
15、4一a2一6a一9经典例题】例1用公式法分解因式：（1）（a2+b2）2一4a2b2(2)(x+2)2(y3)2(3)a2b24ab+4(4)x48x2+16A、m2+4B、一x2一y2C、x2y2一1D、(ma)2(m+a)23、把下列各式分解因式：(1)4a2b2(2)169a2(3)16x2y2一1例2用分组分解法分解因式(1)4ax一4ay一x+y(2)a2一9+8ab+16b2(3)a2一b2一4a+4b(4)a2一b2一c2+d2一2ad一2bc(5) 16(x-1)2-25(x+2)2(6) (x2一x)2+6(x2一x)+9例3用合适的方法分解因式：1)5m2a4一5m2b4(2)12m2n2一12m2n+3m2(3)4a2(m一n)+b2(n-m)(2) 4m2+9(m+n)2+12m(m+n)例4利用分解因式计算：(2)2022+202x196+982(1)1.222x9一1.332x4例5.若a+b=3,ab=一2,求a3+a2b+ab2+b3值。2. 随堂练习】1对于多项式x5-X3+x
