流体属性与流体静力学.ppt

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1、Folie1空气动力学基础空气动力学基础第第1 1章章 流体属性和流体静力学流体属性和流体静力学Folie21.1 流体的属性流体的属性1.2 作用在流体微作用在流体微团上的力的分上的力的分类1.3 理想流体内一点理想流体内一点处的的压强及其各向同性及其各向同性1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程1.5 重力重力场静止液体中的静止液体中的压强分布分布规律律1.6 液体的相液体的相对平衡平衡问题1.7 标准大气准大气第第1 1章章 流体属性和流体静力学流体属性和流体静力学Folie31.1 流体的属性1.1.1 连续介介质的概念的概念从微从微观上看，不上看，不论液体液体还是气体，分子之是

2、气体，分子之间都存在都存在间隙。隙。例如海平面条件下，空气分子平均自由程例如海平面条件下，空气分子平均自由程为 l 10-8 mm，空气分子的平均自由程与我，空气分子的平均自由程与我们宏宏观上关心的物体（如上关心的物体（如飞行器）的任何一个尺寸行器）的任何一个尺寸 L 相比相比较都是微乎其微的。都是微乎其微的。1mm3气体含气体含 2.61016个分子，个分子， 1mm3液体含液体含 31021个分子。个分子。从微从微观上看，流体分子的运上看，流体分子的运动具有不均匀性、离散性、随具有不均匀性、离散性、随机性。机性。Folie41.1.1 1.1.1 连续介质的概念连续介质的概念当受到物体当受

3、到物体扰动时，流体所表，流体所表现出的是大量分子运出的是大量分子运动体体现出出的宏的宏观特性（如特性（如压强、密度等）均匀性、密度等）均匀性、连续性、确定性性、确定性变化。化。流体力学和空气流体力学和空气动力学所关注的正是流体运力学所关注的正是流体运动的宏的宏观特征，特征，而不是个而不是个别分子的微分子的微观特征。特征。流体力学流体力学和空气和空气动力学是从宏力学是从宏观上研究流体的运上研究流体的运动规律和作律和作用力（流体内部、流体与物体之用力（流体内部、流体与物体之间）规律的学科，常用律的学科，常用“介介质”一一词表示它所表示它所处理的流体（液体和气体）理的流体（液体和气体）。Folie5

4、1.1.1 1.1.1 连续介质的概念连续介质的概念流体的流体的连续介介质假假设：流体是由：流体是由连续无无间隙地充隙地充满所占据空所占据空间的流体的流体质点点组成。成。流体流体质点点：是一个微：是一个微观上充分大，宏上充分大，宏观上充分小的分子上充分小的分子团，是宏是宏观上上组成流体的最小成流体的最小单元，流体元，流体质点所具有的宏点所具有的宏观物物理量理量满足一切物理定律。足一切物理定律。微微观上充分大：上充分大：分子尺度分子尺度宏宏观上充分小：上充分小：物体尺度物体尺度Folie6在连续介质的前提下，流体介质的密度可以表达为在连续介质的前提下，流体介质的密度可以表达为:流体为均值时流体为

5、均值时: 流体为非均值时流体为非均值时: 其中其中 为流体空间的体积，为流体空间的体积， 为其中所包含的流体质量。为其中所包含的流体质量。1.1.1 1.1.1 连续介质的概念连续介质的概念Folie7下图为下图为 时平均密度的变化情况时平均密度的变化情况(设设 A点周围密度较点周围密度较 A点为大点为大)： 当微团体积趋于宏观上充分小、微观上充分大的某体积时，密当微团体积趋于宏观上充分小、微观上充分大的某体积时，密度达到稳定值，但当体积继续缩小达到度达到稳定值，但当体积继续缩小达到 时，其密度就不时，其密度就不可能保持为常数。可能保持为常数。Axyz1.1.1 1.1.1 连续介质的概念连续

6、介质的概念Folie8 1.1.1 1.1.1 连续介质的概念连续介质的概念一般一般用用努生数，努生数，即分子平均自由程与物体特征尺寸之比即分子平均自由程与物体特征尺寸之比来判断流体是否来判断流体是否满足足连续介介质假假设 ： Nu = l / L 1 对于常于常规尺寸的物体只有到了外尺寸的物体只有到了外层大气中，大气中， l / L才可能才可能等于甚至大于等于甚至大于 1，这时气体分子就会像雨点般稀疏的流气体分子就会像雨点般稀疏的流向物体，此向物体，此时的空气的空气动力学称力学称为稀薄气稀薄气动动力学。力学。一旦一旦满足足连续介介质假假设，就可以把流体的一切宏，就可以把流体的一切宏观物理物理

7、性性质如密度、如密度、压强、温度及运、温度及运动速度等表达速度等表达为空空间和和时间的的连续可微函数，便于用数学分析工具来解决可微函数，便于用数学分析工具来解决问题。Folie9 流体与固体在力学特性上最本流体与固体在力学特性上最本质的区的区别在于：在于：二者承受剪二者承受剪应力和力和产生剪切生剪切变形能力上的不同形能力上的不同。如如图所示，固体能所示，固体能够靠靠产生一定的剪切角生一定的剪切角变形量形量来抵抗来抵抗剪切剪切应力力 / G ，G是剪切是剪切弹性模量：性模量：F固体 流体与固体的宏流体与固体的宏观差差别：固体可保持一定体固体可保持一定体积和形状和形状 液体可保持一定体液体可保持一

8、定体积不能保持形状不能保持形状 气体既不能保持体气体既不能保持体积也能不保持形状也能不保持形状1.1.2 1.1.2 流体的易流性流体的易流性Folie10对流体（例如甘油）作类似实验将发现，流体的角变形量对流体（例如甘油）作类似实验将发现，流体的角变形量不仅将与剪切应力不仅将与剪切应力大小有关，而且与剪切应力大小有关，而且与剪切应力的持续时的持续时间长短有关。间长短有关。不论所加剪切应力不论所加剪切应力多么小，只要不等于零，流体都将在多么小，只要不等于零，流体都将在剪应力作用下持续不断的产生变形运动（流动），这种特剪应力作用下持续不断的产生变形运动（流动），这种特性称为流体的易流性。性称为流

9、体的易流性。力学上对流体下的定义是：力学上对流体下的定义是：连续且具有易流性的物质。连续且具有易流性的物质。1F2t2t1流体1.1.2 1.1.2 流体的易流性流体的易流性Folie11流体受压时其体积发生改变的性质称为流体的流体受压时其体积发生改变的性质称为流体的压缩性压缩性，而抵抗压缩变形的能力和特性称为而抵抗压缩变形的能力和特性称为弹性弹性。 压缩性系数压缩性系数定义为单位压强差所产生的相对体积改变量：定义为单位压强差所产生的相对体积改变量：体积体积弹性模量弹性模量定义为产生单位相对体积改变量所需的压定义为产生单位相对体积改变量所需的压强增高：强增高：1.1.3 1.1.3 流体的压缩

10、性与弹性流体的压缩性与弹性Folie12 当当 E 较大大时 p 较小流体不容易被小流体不容易被压缩，反之，反之则容易容易被被压缩。液体的。液体的 E 较大，通常可大，通常可视为不可不可压缩流体，气体流体，气体的的 E 通常通常较小且与小且与热力力过程有关，故一般程有关，故一般认为气体具有气体具有压缩性。性。对于水，在常温常于水，在常温常压下：下：对于空气，在于空气，在T=15oC、一个、一个标准大气准大气压下：下：1.1.3 1.1.3 流体的压缩性与弹性流体的压缩性与弹性Folie13后面讲到高速流动时会证明后面讲到高速流动时会证明 ，即声速的平方等于压强，即声速的平方等于压强对密度的变化

11、率。所以气体的弹性决定于它的密度和声速：对密度的变化率。所以气体的弹性决定于它的密度和声速： 由于由于 ，E 还可写为：还可写为：1.1.3 1.1.3 流体的压缩性与弹性流体的压缩性与弹性Folie14飞行器的飞行速度飞行器的飞行速度 u 和声速和声速a 的比值称为的比值称为马赫数马赫数：马赫数的大小可看成是气体相对压缩性的一个指标。马赫数的大小可看成是气体相对压缩性的一个指标。当马赫数较小时，空气速度变化引起的压强变化较小，较小当马赫数较小时，空气速度变化引起的压强变化较小，较小的压强变化引起的密度变化可忽略不计，从而低速气体流动的压强变化引起的密度变化可忽略不计，从而低速气体流动有可能被

12、当作不可压缩流动来处理。有可能被当作不可压缩流动来处理。1.1.3 1.1.3 流体的压缩性与弹性流体的压缩性与弹性Folie15反之当马赫数较大之后，反之当马赫数较大之后，空气速度变化引起的压强变化很大，空气速度变化引起的压强变化很大，很大的压强变化引起的密度变化不可忽略，很大的压强变化引起的密度变化不可忽略，从而气体流动就从而气体流动就不能被当作不可压缩流体来处理，而必须考虑流动的压缩性不能被当作不可压缩流体来处理，而必须考虑流动的压缩性效应。效应。因此，尽管一般我们认为气体是可以压缩的，但在考虑其流因此，尽管一般我们认为气体是可以压缩的，但在考虑其流动时按照其速度快慢即马赫数大小将其区分

13、为不可压流动和动时按照其速度快慢即马赫数大小将其区分为不可压流动和可压缩流动。可以证明，当马赫数小于可压缩流动。可以证明，当马赫数小于0.30.3时，气体流动的压时，气体流动的压缩性影响可以忽略不计。缩性影响可以忽略不计。1.1.3 1.1.3 流体的压缩性与弹性流体的压缩性与弹性Folie16 实际流体都有粘性，不过有大有小，空气和水的粘性都实际流体都有粘性，不过有大有小，空气和水的粘性都不算大，日常生活中人们不会理会它，但观察河流岸边的漂不算大，日常生活中人们不会理会它，但观察河流岸边的漂浮物可以看到粘性的存在。下图直匀流流过平板表面的实验浮物可以看到粘性的存在。下图直匀流流过平板表面的实

14、验表明了粘性的影响：表明了粘性的影响：1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性yuFolie17由于粘性影响，均匀气流流至平板后直接贴着板面的由于粘性影响，均匀气流流至平板后直接贴着板面的一层速度降为零，称为流体与板面间无滑移。一层速度降为零，称为流体与板面间无滑移。任取相邻流层考察可知外层的流体受到内层流体摩擦任取相邻流层考察可知外层的流体受到内层流体摩擦速度有变慢趋势，反过来内层流体速度有变慢趋势，反过来内层流体受到外层流体摩擦拖受到外层流体摩擦拖拽其速度有变快趋势。拽其速度有变快趋势。流层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定流层间的互相牵扯作用一层层向外传递，离板面一定距离后，

15、牵扯作用逐步消失，速度分布变为均匀。距离后，牵扯作用逐步消失，速度分布变为均匀。1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性Folie18 流层间阻碍流体相对错动（变形）趋势的能力称为流流层间阻碍流体相对错动（变形）趋势的能力称为流体的粘性，相对错动流层间的一对摩擦力即粘性剪切力。体的粘性，相对错动流层间的一对摩擦力即粘性剪切力。 以前述流体剪切实验为例，以前述流体剪切实验为例， 牛顿（牛顿（1686）发现，流体）发现，流体作用在平板上的摩擦力正比于速度作用在平板上的摩擦力正比于速度U 和平板面积和平板面积 A，反比反比于高度于高度 h，而，而是与流体介质属性有关的比例常数：是与流体介质属性有

16、关的比例常数：F=AU/h1F2t2t1流体hUA1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性Folie19设设 表示单位面积上的内摩擦力（表示单位面积上的内摩擦力（粘性剪切应力粘性剪切应力），则），则对于一般的粘性剪切层，速度分布不是直线而是前述的曲线，对于一般的粘性剪切层，速度分布不是直线而是前述的曲线，则则粘性剪切应力可写为粘性剪切应力可写为这就是著名的这就是著名的牛顿粘性应力公式牛顿粘性应力公式，它表明粘性剪切应力与速，它表明粘性剪切应力与速度梯度有关，与物性有关。度梯度有关，与物性有关。1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性Folie20从牛顿粘性公式可以看出：从牛顿粘性公式可

17、以看出：1. 流体的剪应力与压强流体的剪应力与压强 p 无关。无关。2. 当当 0 时，时， ，无论剪应力多小，只要存在剪应力，无论剪应力多小，只要存在剪应力，流体就会发生变形运动。流体就会发生变形运动。3. 当当 时，时，0，即只要流体静止或无变形，就不存即只要流体静止或无变形，就不存在剪应力，流体不存在静摩擦力。在剪应力，流体不存在静摩擦力。因此牛顿粘性应力公式可看成流体易流性的数学表达。因此牛顿粘性应力公式可看成流体易流性的数学表达。1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性Folie21 速度梯度速度梯度 du/dy 物理上也表示流体微团的物理上也表示流体微团的剪切变形速度剪切变形速

18、度或角变形率或角变形率 d /dt 。如图所示：。如图所示： ddy =dudt d/dt=du/dy即微团的垂直线单位时间内顺时针转动的角度。即微团的垂直线单位时间内顺时针转动的角度。dudt d u+duudy1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性Folie22 流体剪切应力与速度梯度的一般关系为：流体剪切应力与速度梯度的一般关系为：1 . 1 . = = 0 0+du/dy+du/dy，binghanbinghan流体，泥浆、血浆、牙膏等流体，泥浆、血浆、牙膏等2 .2 . = =（du/dydu/dy）0.5 0.5 ，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆

19、等3 .3 . =du/dy =du/dy ，牛顿流体，牛顿流体，水、空气水、空气、汽油、酒精等、汽油、酒精等4 .4 . =(du/dy) =(du/dy)2 2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等5 . 5 . 0 0， 0 0，理想流体，无粘流体。理想流体，无粘流体。12341.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性Folie23综上所述：综上所述：流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动（例如流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动（例如流体层间的相对运动）流体层间的相对运动）流体的粘性是指流体抵抗剪切变形或质点之间的相对运流体的粘性是指流体抵抗剪切变形

20、或质点之间的相对运动的能力动的能力流体的粘性力是抵抗流体质点之间相对运动（例如流体流体的粘性力是抵抗流体质点之间相对运动（例如流体层间的相对运动）的剪应力或摩擦力层间的相对运动）的剪应力或摩擦力在静止状态下流体不能承受剪力；但是在运动状态下，在静止状态下流体不能承受剪力；但是在运动状态下，流体可以承受剪力，剪切力大小与流体速度梯度有关，流体可以承受剪力，剪切力大小与流体速度梯度有关，而且与流体种类有关而且与流体种类有关1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性Folie24 液体和气体产生粘性的物理原因不同液体和气体产生粘性的物理原因不同，前者主要来自，前者主要来自于液体分子间的内聚力，后者

21、主要来自于气体分子的热运于液体分子间的内聚力，后者主要来自于气体分子的热运动，因此液体与气体动，因此液体与气体动力粘性系数动力粘性系数随温度变化的趋势相反，随温度变化的趋势相反，但动力粘性系数与压强基本无关。但动力粘性系数与压强基本无关。 液体和气体的动力粘性系数随温度变化的关系可查液体和气体的动力粘性系数随温度变化的关系可查阅相应表格或近似公式，如气体动力粘性系数的萨特兰阅相应表格或近似公式，如气体动力粘性系数的萨特兰公式等。公式等。液体：液体： 温度升高，温度升高，变小，反之变大变小，反之变大气体：气体： 温度升高，温度升高，变大，反之变小变大，反之变小1.1.4 1.1.4 流体的粘性流

22、体的粘性Folie25 在许多空气动力学问题里，粘性力和惯性力同时存在，在许多空气动力学问题里，粘性力和惯性力同时存在，在式子中在式子中和和往往以（往往以（/ ）的组合形式出现，用符号）的组合形式出现，用符号表表示示1.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性Folie261.1.4 1.1.4 流体的粘性流体的粘性 空气粘性不大，初步近似研究时可忽略其粘性作用，空气粘性不大，初步近似研究时可忽略其粘性作用，忽略粘性的流体称为理想流体忽略粘性的流体称为理想流体。Folie27按物理意义划分：重力、惯性力、弹性力、摩擦力等。按物理意义划分：重力、惯性力、弹性力、摩擦力等。按作用方式划分：表面力和

23、质量力按作用方式划分：表面力和质量力( (体积力体积力, ,彻体力彻体力) )。质量力质量力：外力场作用于流体微团质量中心，大小与微团质：外力场作用于流体微团质量中心，大小与微团质量成正比的非接触力。量成正比的非接触力。例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于质量力，例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于质量力，也有称为体积力或彻体力。也有称为体积力或彻体力。1.2 1.2 作用在流体微团上力的分类作用在流体微团上力的分类Folie28其中其中 是微团体积，是微团体积，为密度，为密度， 为作用于微团的质为作用于微团的质量力，量力，i 、j、 k 分别是三个坐标方向的单位向量，分别是三

24、个坐标方向的单位向量，fx 、fy 、fz 分别是三个方向的单位质量的质量力分量分别是三个方向的单位质量的质量力分量 。例例:静止容器、直线匀加速（静止容器、直线匀加速（a）容器和匀角速度（）容器和匀角速度（）旋）旋转容器中液体的单位质量质量力。转容器中液体的单位质量质量力。由于质量力按质量分布，故一般用单位质量的质量力表示，由于质量力按质量分布，故一般用单位质量的质量力表示，并且往往写为分量形式：并且往往写为分量形式：1.2 1.2 作用在流体微团上力的分类作用在流体微团上力的分类Folie29表面力表面力：相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面，：相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面

25、，大小与流体团块表面积成正比的接触力。大小与流体团块表面积成正比的接触力。由于按面积分布，故用接触应力表示，并可将其分解为法由于按面积分布，故用接触应力表示，并可将其分解为法向应力和切向应力：向应力和切向应力：ATPn1.2 1.2 作用在流体微团上力的分类作用在流体微团上力的分类Folie30法向应力与切向应力即摩擦应力组成接触应力：法向应力与切向应力即摩擦应力组成接触应力：上述画出的表面力对所指定的流体团块来说则是外力，对上述画出的表面力对所指定的流体团块来说则是外力，对整个流体而言是内力。整个流体而言是内力。流体内任取一个剖面一般有法向应力和切向应力，但切向应流体内任取一个剖面一般有法向

26、应力和切向应力，但切向应力完全是由粘性产生的，而且流体的粘性力只有在流动时才力完全是由粘性产生的，而且流体的粘性力只有在流动时才存在，静止流体是不能承受切向应力的。存在，静止流体是不能承受切向应力的。1.2 1.2 作用在流体微团上力的分类作用在流体微团上力的分类Folie31在在静止流体中，因为不能承受任意剪切应力，无论是理想静止流体中，因为不能承受任意剪切应力，无论是理想流体还是粘性流体，其内部任意一点的应力只有内流体还是粘性流体，其内部任意一点的应力只有内法向应法向应力。力。 在在理想（无粘）流体中，不论流体处于静止还是运动状态，理想（无粘）流体中，不论流体处于静止还是运动状态，因为粘性

27、系数为零，其内部任意一点的应力也只有内因为粘性系数为零，其内部任意一点的应力也只有内法向法向应力。应力。 对于对于粘性流体，在静止状态下，其内部任意一点的应力只粘性流体，在静止状态下，其内部任意一点的应力只有内有内法向应力；法向应力；在运动状态下，其内部任意一点的应力除在运动状态下，其内部任意一点的应力除内法向应力外，还有切向应力内法向应力外，还有切向应力。1.2 1.2 作用在流体微团上力的分类作用在流体微团上力的分类Folie32理想和静止流体中的法向应力称为压强理想和静止流体中的法向应力称为压强 p p，其指向沿着表面，其指向沿着表面的内法线方向，压强的量纲是的内法线方向，压强的量纲是

28、力力/长度长度 2 2，单位为（，单位为（N/mN/m2 2）或或 （帕：（帕：p pa a）在理想（无粘）流体中，不论流体静止还是运动，尽管一般在理想（无粘）流体中，不论流体静止还是运动，尽管一般压强是位置的函数压强是位置的函数 P=P(x,y,z),P=P(x,y,z), 但在同一点处压强不因受但在同一点处压强不因受压面方位不同而变化，这个结果称为压面方位不同而变化，这个结果称为理想流体内压强是各向理想流体内压强是各向同性的同性的。（ 注：关于有粘性的运动流体，严格说来压强指的是三个互注：关于有粘性的运动流体，严格说来压强指的是三个互相垂直方向的法向力的平均值，加负号相垂直方向的法向力的平

29、均值，加负号 ）1.3 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性Folie33 如讨论如讨论P P点处压强，在周围取如图微元点处压强，在周围取如图微元4 4面体面体ABCO,ABCO,作用在各作用在各表面的压强如图所示，理想流体无剪切应力，由于表面的压强如图所示，理想流体无剪切应力，由于dxdx、dydy、dz dz 的取法任意，故面的取法任意，故面ABCABC的法线方向的法线方向n n方向也是任意的。方向也是任意的。yxzdxdydzpzpxpypnnABCoP分别沿分别沿 x、y、z 三个方向建立力的平衡关系：三个方向建立力的平衡关系：x方向合外力质量方向合

30、外力质量加速度（加速度（x方向）方向）1.3 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性Folie34方程左端等于：方程左端等于：方程右端等于：方程右端等于： 三阶小量三阶小量0 0由此可得：由此可得： 因为图中的因为图中的n n方向为任取，故各向同性得证。方向为任取，故各向同性得证。同理可得：同理可得：即：即：1.3 1.3 理想流体内一点的压强及其各向同性理想流体内一点的压强及其各向同性静止流体内静止流体内压强是各向压强是各向同性吗？同性吗？Folie35下面我们研究压强在平衡流体中的分布规律。下面我们研究压强在平衡流体中的分布规律。在平衡流体（静止或相对静止

31、）中取定一笛卡尔坐标系在平衡流体（静止或相对静止）中取定一笛卡尔坐标系 oxyz，坐标轴方位任意。在流体内取定一点，坐标轴方位任意。在流体内取定一点P（x ,y ,z）,然然后以该点为中心点沿坐标轴三个方向取三个长度后以该点为中心点沿坐标轴三个方向取三个长度 dx,dy,dz, 划出一微元六面体作为分析对象划出一微元六面体作为分析对象:xyzPdxdydz1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程Folie36假设：假设：六面体体积：六面体体积： dv=dxdydz中心点坐标：中心点坐标： x ,y ,z中心点压强：中心点压强： p = p（x,y ,z）中心点密度：中心点密度： =

32、（x,y,z）中心点处三个方向的单位质量质量力中心点处三个方向的单位质量质量力: fx , fy , fz微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示，微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶泰勒展开表示，如图为如图为 x 方向的法向力，其他方向同理可得。方向的法向力，其他方向同理可得。由于流体静止故无剪应力。由于流体静止故无剪应力。xyzPdxdydz1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程Folie37x方向的表面力为：方向的表面力为：x方向的质量力为：方向的质量力为：流体静止，则流体静止，则 x 方向的合外力为零：方向的合外力为零：1.4 1.4 流体静平衡微分方

33、程流体静平衡微分方程Folie38两边同除以两边同除以 dv=dxdydz 并令并令 dv 趋于零，可得趋于零，可得 x方向平衡方向平衡方程：方程：y, z 方向同理可得：方向同理可得：流体平衡微分方程流体平衡微分方程表明表明: :当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然当流体平衡时，若压强在某个方向有梯度的话，必然是由于质量力在该方向有分量造成的。是由于质量力在该方向有分量造成的。1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程Folie39将上三个式子分别乘以将上三个式子分别乘以dx，dy，dz，然后相加起来，得到：然后相加起来，得到：此式左端是个全微分（已假设压强是连续可微函数

34、）：此式左端是个全微分（已假设压强是连续可微函数）：1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程Folie40右端括号也是某函数右端括号也是某函数 =（x,y,z）的全微分）的全微分d , 称称 为质量力的势函数为质量力的势函数。1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程如果沿着任意封闭曲线积分，得到如果沿着任意封闭曲线积分，得到说明单位质量力积分与路径无关。也就是说，单位质量力说明单位质量力积分与路径无关。也就是说，单位质量力是有势力。是有势力。即即Folie41这就是平衡的必要条件，即平衡的必要条件是质量力为有势这就是平衡的必要条件，即平衡的必要条件是质量力为有势力，换句

35、话说：只有在有势力作用下流体才可能平衡。力，换句话说：只有在有势力作用下流体才可能平衡。重力、惯性力和电磁力都为有势力。重力、惯性力和电磁力都为有势力。根据数学分析，上述括号是全微分要求右端的三个质量力分根据数学分析，上述括号是全微分要求右端的三个质量力分量量 fx ，fy ，fz 满足下列关系：满足下列关系：1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程Folie42则平衡微分方程可写为：则平衡微分方程可写为：当质量力有势时，当质量力有势时，设质量力与势函数的关系为：设质量力与势函数的关系为：如果我们知道某一点如果我们知道某一点a的压强值的压强值 pa 和质量力势函数和质量力势函数 a

36、 的的值值, ,则则任何其它点的压强和势函数之间的关系便可表出：任何其它点的压强和势函数之间的关系便可表出：1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程Folie43等压面的概念等压面的概念：流场中压强相等的空间点组成的几何曲面：流场中压强相等的空间点组成的几何曲面或平面或平面p=c等压面在等压面上满足：在等压面上满足：上式积分后为一几何曲面或平面，该曲面上满足上式积分后为一几何曲面或平面，该曲面上满足 dp=0，上上方程称为方程称为等压面微分方程等压面微分方程。或：或：1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程Folie44等压面方程还可写为：等压面方程还可写为：其中：其中

37、： 为质量力向量。为质量力向量。为等压面上的向径为等压面上的向径等压面上式表明：上式表明：等压面处处与质量力相正交等压面处处与质量力相正交。1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程Folie45例如：例如：1.1.在重力场下静止液体等压面必然为水平面在重力场下静止液体等压面必然为水平面gaa3. 在水平向右加速容器中的液体，合成在水平向右加速容器中的液体，合成的质量力向左下方，因此等压面是向右的质量力向左下方，因此等压面是向右倾斜的平面倾斜的平面2. 在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到在加速上升电梯中的液体除了受到重力之外，还受到向下的惯性力，二者合成的质量力力均为向下

38、，因此等向下的惯性力，二者合成的质量力力均为向下，因此等压面也是水平面压面也是水平面1.4 1.4 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程Folie46设封闭容器自由面处压强为设封闭容器自由面处压强为p0 ，如图建立坐标系，考虑距，如图建立坐标系，考虑距水平轴高度为水平轴高度为 y 处的某单位质量流体。处的某单位质量流体。其质量力可表示为：其质量力可表示为：p0。xygy其中其中g为重力加速度。为重力加速度。1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie47积分得（注意重度积分得（注意重度g，符号符号读作读作gg meme）：）：此式称为平衡基本方程。此式

39、称为平衡基本方程。上式表明，在平衡流体中上式表明，在平衡流体中 p/与与 y 之和为常数。之和为常数。显然，静显然，静止流体中等压面为水平面止流体中等压面为水平面 yc代入平衡微分方程代入平衡微分方程 得：得：1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie48 的几何意义为的几何意义为:y -代表所研究流体质点在坐标系中所处高度，称为高代表所研究流体质点在坐标系中所处高度，称为高度水头度水头 p/-代表所研究流体质点在真空管中上升高度，称为压力代表所研究流体质点在真空管中上升高度，称为压力水头水头H-由于方程量纲为高度，该积分常数代表上述二高度之由于方程

40、量纲为高度，该积分常数代表上述二高度之和称为总水头，如下图所示：和称为总水头，如下图所示：1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie49对于不同高度上的对于不同高度上的1、2两两点，平衡基本方程可以写点，平衡基本方程可以写为为:表明平衡流体中不同高度处，压力水头与高度水头可以互相表明平衡流体中不同高度处，压力水头与高度水头可以互相转换，但总水头保持不变。转换，但总水头保持不变。y2。11yxp0。yH真空1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie50 的物理意义为的物理意义为:y -代表单位重量流体的重力势

41、能简称势能代表单位重量流体的重力势能简称势能 p/-代表单位重量流体的压力势能简称压力能代表单位重量流体的压力势能简称压力能H -代表平衡流体中单位重量流体的总能量代表平衡流体中单位重量流体的总能量平衡基本方程平衡基本方程 表明表明:平衡流体中势能与压力能可以互相转换，但总能量保持不变平衡流体中势能与压力能可以互相转换，但总能量保持不变1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie51假设自由液面距水平轴距离为假设自由液面距水平轴距离为H，则自由面与，则自由面与 y 处流体满处流体满足：足：。xygp0yHh其中其中 h = H-y 是所论液体距自由面的

42、深度是所论液体距自由面的深度1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie52式式 表明：表明： 平衡流体中距自由面深平衡流体中距自由面深 h 处的压强来自于两部分的贡献：处的压强来自于两部分的贡献：一是上方单位面积上的液重一是上方单位面积上的液重h，因此压强随距自由面，因此压强随距自由面的淹没深度而线性增加的淹没深度而线性增加二是自由面上的压强贡献二是自由面上的压强贡献 p0，而该贡献处处相同与深，而该贡献处处相同与深度无关度无关 这一原理的推论就是静压传递的帕斯卡原理：静止液体中某作用面上这一原理的推论就是静压传递的帕斯卡原理：静止液体中某作用面上施

43、加的压强增量将等大的传递到液体联通器中任何地方，即对任意施加的压强增量将等大的传递到液体联通器中任何地方，即对任意h均有均有dp=dp0 ，这是千斤顶、水压机和助力器等液压机械的基本原理。，这是千斤顶、水压机和助力器等液压机械的基本原理。1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie53压强的计量：压强的计量：以真空为压强参考值计量的压强称为绝对压强，如上以真空为压强参考值计量的压强称为绝对压强，如上式中的式中的 p以大气压以大气压 pa为参考压强，高出大气压部分的压强称为为参考压强，高出大气压部分的压强称为相对压强相对压强 pb= p-pa以大气压以大

44、气压 pa为参考压强，不足大气压部分的压强称为为参考压强，不足大气压部分的压强称为真空度真空度 pv= pa-p对于同一个压强值对于同一个压强值 p，其相对压强，其相对压强 pb 与其真空度与其真空度 pv 之间的关系为之间的关系为 pb= -pv 当自由面为大气压当自由面为大气压 pa 时，距自由面深时，距自由面深h处的压强可表为：处的压强可表为：1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie54湿式大气压力计 例：湿式大气压力表的工作原理例：湿式大气压力表的工作原理 有一种大气压力表是用汞柱的高度来表达有一种大气压力表是用汞柱的高度来表达大气压的数值

45、的。一根上端封闭的长玻璃大气压的数值的。一根上端封闭的长玻璃管和一个盛汞的底盒，玻管竖立。玻管中管和一个盛汞的底盒，玻管竖立。玻管中有汞与底盒中的汞连通。玻管中汞柱的有汞与底盒中的汞连通。玻管中汞柱的 上上端是真空的端是真空的 。1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie55按式按式 ，玻管下面与盒中汞面等高的，玻管下面与盒中汞面等高的A处处(距上距上表面的深度为表面的深度为h)的压强的压强 pA 是是 而而 pA 和大气压和大气压 pa 相等，即：相等，即：这样，要计算大气压的值的话，只要把气压表上读下来的这样，要计算大气压的值的话，只要把气压表上

46、读下来的汞柱高度米乘以汞的重度就是了，大气压的读数往往只说汞柱高度米乘以汞的重度就是了，大气压的读数往往只说汞柱高就行了，一个标准气压是汞柱高就行了，一个标准气压是760毫米汞柱。毫米汞柱。 1.5 1.5 重力场静止液体中的压强分布规律重力场静止液体中的压强分布规律Folie56 在以匀加速运动或匀角速度转动的相对静平衡流体中，在以匀加速运动或匀角速度转动的相对静平衡流体中，如果将坐标系固连在以匀加速运动或匀角速度转动的容器如果将坐标系固连在以匀加速运动或匀角速度转动的容器上，对液体引入惯性力上，对液体引入惯性力( (达朗伯原理达朗伯原理) )，则同样可以利用平，则同样可以利用平衡微分方程求

47、解问题。衡微分方程求解问题。 如图圆筒作匀角速转动如图圆筒作匀角速转动 ，求其中液体的等压面形状和压强分布求其中液体的等压面形状和压强分布规律。规律。 yzg1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题Folie57将坐标系固连于转筒，并建如图坐标系。将坐标系固连于转筒，并建如图坐标系。考虑距底壁为考虑距底壁为 z , ,半径为半径为 r 处单位质量处单位质量流体，会受到一个向下的质量力大小为流体，会受到一个向下的质量力大小为 g , ,此外还受到一个向外的惯性力大小此外还受到一个向外的惯性力大小为为2r。在直角坐标系中，三个方向的彻体力可表在直角坐标系中，三个方向的彻体力可表为：为：

48、 yxr2r2y2xrzg1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题Folie58求等压面：由等压面方程求等压面：由等压面方程可得：可得：积分得：积分得：即：即：为旋转抛物面族为旋转抛物面族yzgH1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题Folie59特别地，设自由面最低点距坐标原点高特别地，设自由面最低点距坐标原点高 H H 时，可定出自由时，可定出自由面对应的常数：面对应的常数：r = = 0 0 时，时，c c = z = = z = H H，故自由面方程为：故自由面方程为：其中其中 称为超高，即液面高出抛物线顶点的部分。称为超高，即液面高出抛物线顶点的部分。rzg

49、H1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题Folie60求压强分布：将质量力代入平衡微分方程方程可得：求压强分布：将质量力代入平衡微分方程方程可得：积分得：积分得：由自由面条件定出积分常数：由自由面条件定出积分常数：x = y = 0 ， z = H 时时, , p = pa，定得积分常数，定得积分常数 c = pa+g H， 代入上述积分结果，得：代入上述积分结果，得：1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题Folie61如果令方括号等于如果令方括号等于 则上式可以写为：则上式可以写为：其中其中 H 即为从自由面向下的淹没深即为从自由面向下的淹没深度。度。yzgHH上

50、述压强分布表明，在旋转平衡液体中，压强随深度线性上述压强分布表明，在旋转平衡液体中，压强随深度线性增加，随半径呈平方增加。增加，随半径呈平方增加。比较比较A、B、C三点处的压强。三点处的压强。1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题Folie62 此外压强分布还与旋转角速度的平方此外压强分布还与旋转角速度的平方 2 成正比，如成正比，如旋转角速度很大，这个彻体力可以很大旋转角速度很大，这个彻体力可以很大 ，从而一定半径处，从而一定半径处的压强会很大。的压强会很大。 由于随半径不同各处的惯性离心力不同，因此合成的由于随半径不同各处的惯性离心力不同，因此合成的质量力方向随半径而变化，这

51、是旋转平衡液体的等压面成质量力方向随半径而变化，这是旋转平衡液体的等压面成为抛物面形状的原因。为抛物面形状的原因。 旋转液体的特点在工程中也有很重要的应用，例如旋旋转液体的特点在工程中也有很重要的应用，例如旋转铸造或离心铸造等，对于铸造薄壁容器、列车车轮等有转铸造或离心铸造等，对于铸造薄壁容器、列车车轮等有重要意义。重要意义。1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题Folie63如图为旋转液体压强分布演示：如图为旋转液体压强分布演示：1.6 1.6 液体的相对平衡问题液体的相对平衡问题Folie64 包围包围整个地球的空气总称为大气。在大气层内温度、整个地球的空气总称为大气。在大气

52、层内温度、压强、密度、粘性、声速等压强、密度、粘性、声速等随高度发生变化。按其变化特随高度发生变化。按其变化特征，可将大气分为若干层。征，可将大气分为若干层。（1）对流层）对流层-从海平面起算的最低一层大气，从海平面起算的最低一层大气，高度高度011km。在这一层内密度最大，所含空气质量约占整个。在这一层内密度最大，所含空气质量约占整个大气质量的大气质量的3/4。空气存在上下流动，雷雨和风暴等气象。空气存在上下流动，雷雨和风暴等气象变化均发生在这一层内，温度随高度直线下降。变化均发生在这一层内，温度随高度直线下降。1.7 1.7 标准大气标准大气Folie65（2）平流层）平流层-高度从高度从

53、1132km，所含空气质量占整个，所含空气质量占整个大气的大气的1/4。大气只有水平方向的运动，没有雷雨等气象变化。大气只有水平方向的运动，没有雷雨等气象变化。从从11-20km，温度不变，温度不变T=216.65K（同温层）；从（同温层）；从20-32km，温度随高度而上升。，温度随高度而上升。（3）中间大气层）中间大气层-高度从高度从32-80km，在这一层温度先是，在这一层温度先是随高度上升，在随高度上升，在53km处达到处达到282.66K，以后下降，在，以后下降，在80km处降低到处降低到196.86K。这一层的空气质量约占总质量的。这一层的空气质量约占总质量的1/3000。（4）高

54、温层）高温层-高度高度80-400km，温度随高度上升，到，温度随高度上升，到400km处达处达1500-1600K。在。在150km以上，由于空气过分稀以上，由于空气过分稀薄，可闻声已经不存在。薄，可闻声已经不存在。1.7 1.7 标准大气标准大气Folie66（5）外层大气）外层大气高度高度4001500/1600km，空气分子，空气分子有机会逸入太空而不与其它分子碰撞。空气质量占总质量有机会逸入太空而不与其它分子碰撞。空气质量占总质量的的10-11 。空气主要成分：空气主要成分：N2占占78%，O2占占21%。普通飞机主要在对流层和平流层里活动。普通飞机主要在对流层和平流层里活动。飞机最

55、大高度飞机最大高度39km，探测气球，探测气球44km，人造卫星，人造卫星100-1000km。大多数陨石消灭在。大多数陨石消灭在40-60km。1.7 1.7 标准大气标准大气Folie67气象条件逐日都有些变化，更不用说不同的季节了气象条件逐日都有些变化，更不用说不同的季节了,并并且不同地区气象也不相同。无论做飞行器设计，还是做实且不同地区气象也不相同。无论做飞行器设计，还是做实验研究，都要用到大气的条件，为了便于比较，工程上需验研究，都要用到大气的条件，为了便于比较，工程上需要规定一个标准大气。这个标准是按中纬度地区的平均气要规定一个标准大气。这个标准是按中纬度地区的平均气象条件定出来的

56、。这样做计算时，都依此标准进行计算；象条件定出来的。这样做计算时，都依此标准进行计算；做实验时，也都换算成标准条件下的数据。做实验时，也都换算成标准条件下的数据。 标准大气规定在海平面上，大气温度为标准大气规定在海平面上，大气温度为 15 或或 T0 = 288.15K ，压强，压强 p0 = 760 毫米汞柱毫米汞柱 = 101325牛牛/米米2，密，密度度0 = 1.225千克千克/米米31.7 1.7 标准大气标准大气Folie68 从基准海平面到从基准海平面到 11 km 11 km 的高空称为对流层，在对流的高空称为对流层，在对流层内大气密度和温度随高度有明显变化，温度随高度增加层内

57、大气密度和温度随高度有明显变化，温度随高度增加而下降，高度每增加而下降，高度每增加 1km1km，温度下降，温度下降 6.5 K6.5 K，即：，即： 从从 11 km11 km 到到 21km21km 的高空大气温度基本不变，称为的高空大气温度基本不变，称为同温层，在同温层内温度保持为同温层，在同温层内温度保持为 216.5 K216.5 K。1.7 1.7 标准大气标准大气Folie69 因大气密度因大气密度是变量且与是变量且与p、T 有关，我们可用静平有关，我们可用静平衡微分方程先把压强随高度下降的规律推导出来。衡微分方程先把压强随高度下降的规律推导出来。 高度大于高度大于 21km 以

58、上时大气温度随高度的变化参见下以上时大气温度随高度的变化参见下图，大气温度随高度变化的原因复杂，主要因素有：地表图，大气温度随高度变化的原因复杂，主要因素有：地表吸收太阳热量、臭氧吸热与电离放热、空气或宇宙尘埃受吸收太阳热量、臭氧吸热与电离放热、空气或宇宙尘埃受短波辐射升温等。短波辐射升温等。1.7 1.7 标准大气标准大气Folie70在如图坐标系中考虑某高度上的单位质在如图坐标系中考虑某高度上的单位质量空气微元，其受到的彻体力分量为：量空气微元，其受到的彻体力分量为：某个高度上的大气压强可以看作是面积为某个高度上的大气压强可以看作是面积为1米米2的一根上端的一根上端无界的空气柱的重量压下来

59、所造成的无界的空气柱的重量压下来所造成的 ，如图，如图代入平衡微分方程可得：代入平衡微分方程可得：1.7 1.7 标准大气标准大气Folie71根据理想气体状态方程根据理想气体状态方程 ，密度写为压强和温度，密度写为压强和温度的表达即的表达即 代入平衡微分方程得：代入平衡微分方程得：T 是高度是高度 y 的已知函数，严格说的已知函数，严格说 g 也随也随 y 有所变化，但在有所变化，但在对流层范围内其影响极小，这里就把它当常数看，其值为对流层范围内其影响极小，这里就把它当常数看，其值为9.80665米米/秒秒2。将。将 T 的式子代入，即可分离变量的式子代入，即可分离变量 。1.7 1.7 标

60、准大气标准大气Folie72代入微分方程得：代入微分方程得：下标下标H代表高度为代表高度为H米处的大气参数。米处的大气参数。将对流层的将对流层的积分得：积分得：1.7 1.7 标准大气标准大气Folie73在同温层内，即在同温层内，即11km到到21km为止，为止， 代入微分方程代入微分方程 并积分：并积分：根据状态方程可得密度比：根据状态方程可得密度比：根据地面的标准大气参数即可得出对流层某高度根据地面的标准大气参数即可得出对流层某高度H处压强和处压强和密度分布。密度分布。1.7 1.7 标准大气标准大气Folie74结果得：结果得：下标下标“11”代表代表H=11000米处的参数米处的参数

61、 。其他高度上的压强、密度参数都可以仿此由温度随高度的其他高度上的压强、密度参数都可以仿此由温度随高度的变化关系代入上述微分方程后积分得出。这样计算出来的变化关系代入上述微分方程后积分得出。这样计算出来的大气参数（压强、密度、温度、粘性、声速等的总称）列大气参数（压强、密度、温度、粘性、声速等的总称）列成标准大气表成标准大气表 ，可供查阅参考。，可供查阅参考。 1.7 1.7 标准大气标准大气Folie75右图是同温层高度范围内右图是同温层高度范围内温度温度T、压强、压强 p、密度、密度和和分子平均自由程随高度分子平均自由程随高度 H 变化的曲线：变化的曲线： 1.7 1.7 标准大气标准大气

62、Folie76本章基本要求：本章基本要求：1. 掌握连续介质假设的概念、意义和条件；掌握连续介质假设的概念、意义和条件；2.了解掌握流体的基本物理属性，尤其是易流性、压缩性和了解掌握流体的基本物理属性，尤其是易流性、压缩性和粘性等属性的物理本质和数学表达；粘性等属性的物理本质和数学表达；3.掌握流体力学中作用力的分类和表达、理想流中压强的定掌握流体力学中作用力的分类和表达、理想流中压强的定义及其特性；义及其特性；4.初步掌握静止流体微团的力学分析方法，重点掌握流体平初步掌握静止流体微团的力学分析方法，重点掌握流体平衡微分方程的表达及其物理意义；衡微分方程的表达及其物理意义；5.在流体平衡微分方

63、程的应用方面，重点掌握重力场静止液在流体平衡微分方程的应用方面，重点掌握重力场静止液体中的压强分布规律和标准大气问题。体中的压强分布规律和标准大气问题。 Folie77小测验（小测验（10分钟）分钟） 如图封闭小车内水未装满，顶部压强如图封闭小车内水未装满，顶部压强 p0 为已知，又为已知，又小车以匀加速度小车以匀加速度a向右运动，将坐标系建于小车上时可将向右运动，将坐标系建于小车上时可将容器内的水看成处于平衡状态，试：容器内的水看成处于平衡状态，试：（1）写出单位质量彻体力各分量的表达）写出单位质量彻体力各分量的表达（2）写出液体的等压面微分方程，并求自由面方程）写出液体的等压面微分方程，并求自由面方程 （3）写出平衡微分方程，并求左下角处压强，问左、右）写出平衡微分方程，并求左下角处压强，问左、右下角压强是否相等？为什么？下角压强是否相等？为什么？ap0xyzh