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1、习题答案第1章三、解答题1 .设尸(/3)=0,则下列说法哪些是正确的？(1)4和3不相容；(2)4和8相容；(3)/3是不可能事件；(4)A B不一定是不可能事件；(5)尸=0或尸=0(6)P(A-B)=PQ4)解:(4)(6)正确.2.设4,3 是两事件，且 P(/)=0.6,P(B)=0.7,问：(1)在 什 么 条 件 下 取 到 最 大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下尸(/B)取到最小值，最小值是多少？解：因为 P(Z 5)P(4)+P(8)-P(/U8),又因为 P(B)P(A U B)即 P(B)-P(Aj B)）：0 x,1事件A=两数之和小于6/5=（x,y）e 事：x
2、+y 6/5因此ix（4 丫 八Z的面积 2（5）17尸=百丽=-1=不图？11.随机地向半圆0”而 二?（。为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于弓的概率.4解：这是一个几何概型问题.以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，0表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立直角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间2=（x,y）：0 x 2o,0 y lax-x1 事件Z=原点和该点的连线与x轴的夹角小于工”4=(x,y)：0 x 2(7,0 y l ax-x1,0 9 因此1 2.解:1 3.1 2 1 2力的
3、面积.5 a+4 _ 1 +1.。的面积 1 2 万22已知P G 4)=：,P(B|4)=L p(Z|B)=g,求尸(1 UB).P(4B)=P(B)=W=J-=L,1 4 3 1 2 P(AB)1 2 2 6产(ZUB)=尸(/)+P(8)P(Z8)=；+：-=；.设 1 0 件广*品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件广一品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率二设 4=所取两件产品中至少有一件是不合格品，B=
4、两件均为不合格品”；P(/)=l-P(才=1-冬=2,p(B)=与=2,G i 3 C f0 1 53=虫=皿=2心 P(A)P(A)1 5 3 51 4.有两个箱子，第 1 箱子有3个白球2个红球，第 2个箱子有4个白球4个红球，现从第 1 个箱子中随机地取1 个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少？解：设/=从 第 1 个箱子中取出的1 个球是白球，B=从 第 2个箱子中取出 的 1 个球是白球”，则P 咯=3,P(1)=2,由全概率公式得C 5 5 5_ _ 3 c l
5、2 c l 2 3P(B)=P(A)P(B I A)+P(A)P(B I J)=-x-+-x =,由贝叶斯公式得1 5 .将两信息分别编码为4和 8传递出去，接收站收到时一，4被误收作3的概率为0.0 2,而 3被误收作力的概率为0.0 1,信息/与信息3传送的频繁程度为2：1,若接收站收到的信息是4 问原发信息是/的概率是多少？解：设 止“原发信息是4 ，N=接收到的信息是力”，已知_ _ 2P(N IM)=0.0 2,I A/)=0.01,P(M)=g所以 1P(NI)=0.98,P(N IM)=0.99,P()=,由贝叶斯公式得P(MN)=P(M)P(NM)2,2 1 八 八 八 196
6、-=-.x 0.98+(x0.98 x 0.01)-P(M)P(N M)+P(M)P(N M)3 3 3 19716.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为2 一，问三5 3 4人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：设4=第，个人能破译密码”，=1,2,3.已知尸(4)=(尸(4 2)=：，P(4)=：，所以 P(4)=:，尸(4)=：尸(4)=：，至少有一人能将此密码译出的概率为_ _ _ _ 4 2 3 3l-P(J2J3)=l-P(J,)P(2)PU2)=l-x-x-=-.1 7 .设事件力与3相互独立，已知尸(/)=0.4,尸(/UB)=0.7,求 尸(耳/).解
7、：由 于/与 8相互独立，所以。(4 8)=P(/)P(B),且P(A U B)=P+P-P(AB)=尸(4)+P(B)-P(A)P(B)将尸(/)=0.4,尸(/U3)=0.7 代入上式解得尸=0.5,所以PZ)=1-P(B|J)=1-=1-=1-P(8)=l-0.5=0.5.或者，由于4与8相互独立，所以/与否相互独立，所以P(BA)=P(5)=1-P(B)=1-0.5=0.5.1 8 .甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6 和 0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？解：设/=甲射击目标，8=乙射击目标”，止“命中目标”，已知 P(A)=P(B)=1,P(M
8、A)=0.6,P(MB)=0.5,所以尸(A/)=P(AB U 彳8 U AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB).由于甲乙两人是独立射击目标，所以P(M)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.6X0.5+0.4x0.5+0.6x0.5=0.8.P(A1M)=P(AM)_ P(A)P(M I A)_ 1x0.6P(M)-P(M)0.81 9.某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,试问：(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2)第二种工艺两道工序出现不
9、合格品的概率都是0.3时，情况又如何？解：设4=第1种工艺的第，道工序出现合格品，z=l,2,3;5=第2种工艺的第z道工序出现合格品，i=l,2.(1)根据题意，尸(1)=0.7,尸(生)=0.8,尸(4)=0.9,尸(囱)=0.7,?(32)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为PAXA2A=尸(/)尸(42)尸(/3)=0-7X0.8X0.9 =0.5 0 4,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(BB2)=0(31)0(82)=0.7x0.8=0.56,可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。(2)根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而尸(3)=尸(4)=0.7,第
10、二种工艺加工得到合格品的概率为P(5|52)=)P(52)=0.7 x 0.7=0.49.可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1 .设两两相互独立的三事件/,3和。满足条件/3 C =0,P(4)=P(B)=P(C)2且已知尸(NU8UC)=，求尸(4).解：因为所以尸(/3 0=0,因为4 B,。两两相互独立,口(4)=尸(5)=4(。),所以P(/B)+P(BC)+P(AC)=P(Z)P(B)+P(B)P(C)+P(N)P(C)=3fP(J)2由加法公式尸(Z U 8 U C)=P(+P(3)+P(C)-P(AB)P(BC)-P(/C)+P(ABC)得,93P(A)-3P(A)2=-16
11、即 4P()-34P(J)-l=0考虑到p(m P(/1 5 C)=P(J 5 C),证明：22P(ABC)=P(AB)+P(J C)+P(BC)-1 .证明：因为P(C)=P(7前),所以P(ABC)=1 一 尸(/U 8 U C)=1 P(N)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(J C)+P(ABC)将P(N)=P(B)=P(C)=-代入上式得到23P(ABC)=1-1-P(4B)-P(BC)_ P(AC)+P(ABC)整理得2P(ABC)=P(AB)+P(BC)+P(AC)-g3 .设 O P(/)1,0 P(B)1,P(AB)+P(AB)=1,试证/与 3 独立.证明：因
12、为。(/+P(彳旧)=1,所以P(AB)P(AB)P(AB),-1 =-1-=P(B)P P(B)1-P(5)将P(A U 8)=尸(4)+P(B)-P(AB)代入上式得P(AB)1-P(4)-P(B)+P(4 B),-+-=1,P(B)1 两边同乘非零的P(8)U-P(3)并整理得到P(AB)=P(A)P(B),所 以/与3独立.4.设4 3是任意两事件，其 中/的概率不等于。和1,证明P(8 I N)=尸(川 彳)是事件Z与3独立的充分必要条件.证明：充分性，由于P(8 I Z)=P(8 l 1),所以及竺2=(理)即P(N)P P(AB)_ P(B)P(AB)P(J)-l-P(J)-，两
13、边同乘非零的尸-尸并整理得到P(/8)=尸(Z)P(B),所以A与B独立.必要性：由于Z与3独立，即P(A 8)=尸(4)P(8),且。(4)。0,尸(彳),0,所以一方面另一方面尸牙）=P(彳8)_ P-P(AB)_ P(B)-P(A)P(B)P(A)P(A)P(A)=P(B),所 以 (B I Z)=尸(B l 1).5.一 学 生 接连参加同一课程 的两次考试.第一次及格的概 率 为 p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为g（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率.（2）若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率.解：设 4=
14、第，次 及 格,，=1，2.已知P（4）=P，P（，2 I 4）=P，P（4 1 4）=3由全概率公式得P=尸（4）尸（4 1 4）+P（4）P（4 1 4）=/+（1 p号（1）他取得该资格的概率为p（4 U 4）=尸（4）+2 4）一4）=尸（4）+）一 尸（4）P（41 4），=/?+/?2+（l-7?）y-p2=3p 2P.（2）若已知他第二次及格 了，他第一次及格的概率为P（A A）=-（44）尸（4*（414）=p xp :2P2 尸.2+（1 一吗P +/6.每 箱 产 品 有 1 0 件，其 中 次 品 从 0到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一 件，如果检验为次品，则认
15、为该箱产品为不合格而拒收.由于检验 误 差，一件正品被误判为次品的概 率 为 2%,一件次品被误判为正品的概率为1 0%.求检验一箱产 品 能通过验收的概率.解：设 4=一 箱 产 品 有，件次品，z=0,1,2.设M=”一件产品为正品，N=“一件产品被检验为正品”.已知P（4）=P（4）=P（4）=|，尸川I M）=0.0 2,尸（N I M）=0.1,由全概率公式1 Q Q OP（M）=尸（4）P（M 1 4）+P（4）尸（I 4）+P（J2）P（A/I J2）=-（1 +）=,9 1 T 7 P(M)=1-P(M)=1.=自，又P(NIA/)=1 尸(NIM)=1 0.02=0.98,由
16、全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为 9 1P(N)=P(M)P(N I M)+P(M)P(N I M)=,x 0.98+点 x0.1=0.892.7.用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6.今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质,而有一次认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率.解：4=一产品真含有杂质，氏=对一产品进行第/次检验认为含有杂质”,z=l,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即 囱，&发生了，而 3未发生.又知 尸(用 l/)=0.8,P(瓦 1彳)=0.9,P(4)=0.4,所以产(3 14)=02,/(与1 7)=。1,0(4)=0.4,尸(彳)=0.6,所求概率为P(/l4与瓦)=P(AB】B耳)_ P(A)P(BB2瓦 I /)_P(8也瓦)一。(/)尸(男82瓦1“)+。(彳)。(分
