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1、数列的前n项和的求法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比及1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，.例1、，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得 利用常用公式 12.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式中“同类项先合并在一起，再运用公式法求和. 例2、 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 分组当a1时， 分组求和当时，3.倒序相加法：假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项及组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和这也是等差数列前和公式的推导方法.例3、求的值解：设. 将式
2、右边反序得. 反序 又因为 +得 反序相加89 S44.54.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项及一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法这也是等比数列前和公式的推导方法.例4、 求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项及等比数列的通项之积设. 设制错位得 错位相减再利用等比数列的求和公式得： 例5、求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项及等比数列的通项之积设 设制错位得 错位相减 5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：；，； ；.例6、 求数列的前n项和.解：设
3、裂项那么 裂项求和 例7、 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 裂项 数列bn的前n项和 裂项求和 6.通项转换法：先对通项进展变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例8 、求之和.解：由于 找通项及特征 分组求和7、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例9、 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.2021年全国高考数学试题分类汇编数列1.【2021全国卷文5】等差数列的公差为2，假设，成等比数列，那么的前n项和=A B C (D) 【答案】A2.
4、【2021全国大纲卷理10】等比数列中，那么数列的前8项和等于 A6 B5 C4 D3【答案】C3.【2021全国大纲卷文8】设等比数列an的前n项和为Sn，假设S2=3，S4=15，那么S6=( )A. 31 B. 32 C. 63 D. 64【答案】C4.【2021北京卷理5】设是公比为的等比数列，那么是为递增数列的 充分且不必要条件 必要且不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件【答案】D5.【2021天津卷文5】设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.假设成等比数列，那么A2B-2C D【答案】D.6.【2021福建卷理3】等差数列的前项和，假设，那么( ) 【答案】C7.
5、【2021辽宁卷文9】设等差数列的公差为d，假设数列为递减数列，那么 A B C D 【答案】D8.【2021陕西卷理文4】根据右边框图，对大于2的整数，得出数列的通项公式是 【答案】C9.【2021重庆卷理2】对任意等比数列,以下说法一定正确的选项是 成等比数列 成等比数列成等比数列 成等比数列【答案】D10.【2021重庆卷文2】在等差数列中,，那么 【答案】B11.【2021全国卷文16】数列满足=，=2，那么=_. 【答案】 12.【2021安徽卷理12】数列是等差数列，假设，构成公比为的等比数列，那么_.【答案】。13.【2021北京卷理12】假设等差数列满足，那么当_时的前项和最大
6、.【答案】814.【2021天津卷理11】设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.假设成等比数列，那么的值为_.【答案】 15.【2021江西卷文13】在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，那么的取值范围_.【答案】16.【2021广东卷理13】假设等比数列的各项均为正数，且，那么 。【答案】5017.【2021广东卷文13】等比数列的各项均为正数且，那么 .【答案】518.【2021全国卷理17】数列的前项和为，=1，其中为常数.()证明：；是否存在，使得为等差数列？并说明理由.【解析】：()由题设，两式相减，由于，所以 6分由题设=1，可得，由()知假设为等差数列，那么
7、成等差数列，解得；证明时，为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令那么，数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令那么，因此，存在存在，使得为等差数列. 12分19.【2021全国卷文17】是递增的等差数列，是方程的根。I求的通项公式；II求数列的前项和.【解析】：I方程的两根为2,3,由题意得，设数列的公差为 d,，那么，故d=，从而，所以的通项公式为： 6 分()设求数列的前项和为Sn,由()知，那么： 两式相减得所以 12分20.【2021全国卷理17】数列满足=1，.证明是等比数列，并求的通项公式；证明：.【解析】1(2)由1知，故，当时，；所以，
8、故21.【2021全国大纲卷理18】等差数列的前n项和为，为整数，且.I求的通项公式；II设，求数列的前n项和.【解析】I由，为整数知，等差数列的公差为整数又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为II，于是22.【2021全国大纲卷文17】数列an满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.1设bn=an+1-an，证明bn是等差数列；2求数列an的通项公式.【解析】1由an+2=2an+1-an+2得an+2- an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.所以bn是首项为1，公差为2的等差数列；（1） 由1得bn=1+2n-1，即an+1-an于
9、是an-a1=n2-2n，即an=n2-2n +1+a1.又a1=1，所以an的通项公式为an=n2-2n +2.23.【2021山东卷理19】等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列。I求数列的通项公式；II令=求数列的前项和。【解析】I解得II24.【2021安徽卷文18】数列满足.()证明：数列是等差数列；()设，求数列的前项和.【解析】证：由可得，即所以是以为首项，1为公差的等差数列。解：由得，所以，从而 得： 所以25.【2021北京卷文15】是等差数列，满足，数列满足，且是等比数列.1求数列和的通项公式；2求数列的前项和.【解析】I设等差数列的公差为，由题意得：，所以，设等比数
10、列的公比为，由题意得：，解得.所以，从而.II由1知，数列的前n项和为，数列的前n项和为，所以数列的前n项和为.26.【2021福建卷文17】在等比数列中，.求；设，求数列的前项和.【解析】(1)设的公比为q，依题意得，解得，因此，.2因为，所以数列的前n项和.27.【2021江西卷理文17】首项都是1的两个数列，满足.(1) 令，求数列的通项公式；(2) 假设，求数列的前n项和.【解析】1因为，所以所以数列是以首项，公差的等差数列，故2由知于是数列前n项和相减得所以28.【2021江西卷文16】数列的前项和.（1） 求数列的通项公式；（2） 证明：对任意，都有，使得成等比数列.【解析】1当时 当时 检验 当时，2使成等比数列. 那么， 即满足，所以 那么对任意，都有 所以对任意，都有，使得成等比数列.
