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1、2已知等腰三角形底角的正弦值为2008年湖南省百校联盟杯高二基础学科知识竞赛数学(理)时量:120分钟分值:150 分(2008.5.24.10:0012:00)一、选择题(50分)1、设集合Ax 1 x2 , B x0 x4,则 AB()A 0, 2B1, 2C0, 4D1 , 42 .函数yx3sin x1图象的对称中心是D.()A. (0,0)B.(0, 1)C . (0,1)不存在x2 2x3 / 八3、函数f(x)x 1(x1) 一上在点x1处连续，则a的值是()ax 1(x 1)A. 2B.2C. 3D.3则顶角的正弦值是3A. 4-B . 2 .595.对任意xR，不等式a|x|
2、 x恒成立,则实数a的取值范围是B. a 16.正项数列3n中,已知对一切正整数 n,都有2卄an 2anan 4，右S32,074,15(A.8B.16C.32D.647 .如图,已知边长为2的正三角形ABC中线AF与中位线相交于点G,将此三角形沿 DE折成二面角 Ai DE B,设二面角Ai DE B的大小为 0,则当异面直线的夹角为60时，cos 0的值为()AiE与 BDA.平面向量的集合A到A的映射f 由 f(x)2(x?a)a确定，其中a为常向量.若映射足f(x)?f(y) x?y对任意x、y A恒成立，则a的坐标可能是()2A (2 1)2 2B.、2. 2c(方)EHD. (1
3、退2 29 .直线|与圆x21相切,并且在两坐标轴上的截距之和等于.3，则直线|与两坐标轴所围成的三角形的面积等于A. 3210、长沙汽车南站每天都有 3辆开往武汉的分为上中下等的客车，某天某先生准备从长沙南站搭 客车前往武汉，但他不知客车的车况，也不知如何发车，为尽可能乘上等车，他采用如下策略： 先放过第一辆不乘，如果第二辆比第一辆好，则乘该车，否则上第三辆车，那么他能乘上等车的 概率为1A3二、填空题(25分)B.C.1D.)3D -4211.设随机变量服从正态分布：N( ,)(0),若P(0)0.3, P( 2)0.7 ,12、812x 31的展开式中的常项是Vx。(用数字作答)13.若
4、等差数列an的前六项的和S69，且ai1，则a2i =14.已知过抛物线 y2 6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是 15 .已知过球面上三点 A、B、C的截面和球心的距离等于球半径R的一半，且AB=BC=CA=2则球面积S=三、解答题(75分)16、(12分)设a (cos ,sin ), b (cos ,sin )(0)是平面上的两个向量。(I)求证a b与a b垂直；4 3(n)若 a b, tan，求 tan 的值。5 4ABC垂直,19.(13分)已知数列an满足a15, an2an 12n 1,(n2,n N )(I)若 bnan 1 , (n2nN )求证:数列bn为等
5、差数列；17、(12分)2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为3-，中国乒乓球女队获得每一枚金44牌的概率均为一5(I)求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率；(n)记中国乒乓球队获得金牌的数为，按此估计 的分布列和数学期望 E18、(12分)如图，正方形 ACDE所在的平面与平面AC BC，且 AC BC (I)求证：AM 平面EBC ;(n)求直线AB与平面EBC所成的角的大小；(川)求二面角 A EB C的大小.(n)设数列 an的前n项和Sn,求Sn20.(13 分)如图，
6、A为椭圆詁Ka b 。)上的一个动点，弦ABAC分别过焦点尺、F2 ,当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1 |:|AF2 | 3:1。(I)求该椭圆的离心率;2是否为定值？若是， 求出该定值；若不是，(n)设 AR1 R B, AF22 F2C，试判断 i请说明理由。21、(13分)已知函数f (x)11 成e |X (其中e是自然对数的底)x(I)判断f (x)的奇偶性;(n)在 ，0上求f(x)的极值;(川)用数学归纳法证明：当x 0时对任意的正整数 n都有f() n!x2n高二基础学科知识竞赛理科数学答案1-10 ABCACBDDAB11、1 12 、11213、 514、或15 、644
7、4916、解：(I)-a-a-由已知 a b (coscos , sinsin )a b (cos cos ,sin sin )(a b)(a b)2 2(cos cos )(si n2sin2a b与a b垂直(n) acos cos sinsincos(tan(又 tan(tan tan1 tan tantan1- tan410解得tan2471217解：（I）设中国乒乓球男队获0枚金牌,枚金牌为事件 A，中国乒乓球男队获金牌,女队获2枚金牌为事件B那么,P(AB) P(A) P(B)=C； 1g1C224 =13 -6 分5 50根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量它的所有可能取值
8、为0, 1, 2,（单位：枚）那么 P（2 20)C214 14 佥p(1) c2 1P(P(P(C；g172002) c2c2 13) C2 14)g173400g4925C；215010分则概率分布为:01P17400200那么，所获金牌的数学期望 E0 1400234732194005025,7c 73c2193112 -34(枚)200400502510答：中国乒解法一：(I )EAAC, AMBC平面EAC BCAM AM平面EBC乓球队获得金牌数的期望为四边形ACDE是正方形,18EC 平面 ACDEAM 平面EAC ,(n )连结BM , AM 平面EBC ,ABM是直线AB与平
9、面EBC所成的角.设 EA AC BC 2a，则AM 2a , AB 2、2a ,sin ABM即直线AB与平面EBC所成的角为30 3枚。10AMAb平面12分平面ABCDCABM 30 EBC, AM EBEB 平面AHMAHM是二面角A EBC的平面角.平面ACDE平面ABC,EA平面ABC 在RtEAB 中，AHEB ,有AEABEB AH由(n )所设EAACBC2a可得AB2.2a ,AHAE AB 2 2asinAHMAMEB.3AHEAEB2C等于60 二面角 A EB(川)过A作AH EB于H，连结HM AMAB 2 3a ,AHM 60 12分解法二：四边形ACDE是正方形
10、，EA AC, AMEC平面 ACDE平面ABC ,EA 平面ABC ,可以以点 A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线 AC和AE为y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 设 EA AC BC 2，贝UA(0,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), E(0,0,2),E r-xM是正方形 ACDE的对角线的交点,M (0,1,1).(I ) AM (0,1,1),EC (0,2,0) (0,0,2)(0,2, 2) , CB (2,2,0) (0,2,0) (2,0,0),AMEC 0, AM CB0, AM EC, AM CBAM平面EBC .AM 平
11、面EBC ,AM为平面EBC的一个法向量,AM(0,1,1), AB (2,2,0), cos AB,AMAB AMAB AMAB, AM 60 .直线AB与平面EBC所成的角为30 .（川）设平面EAB的法向量为(x, y, z)，贝U n AE 且 n AB ,n AE 0 且 n AB 0 .(0,0,2) (x,y,z)0,(2,2,0) (x,y,z)0.0,取 y 1，则 x 1, y 0.则 n (1,1,0).又 AM为平面EBC的一个法向量，且AM (0,1,1),cn AMn AM设二面角A EBC的平面角为，则 cos,AM60二面角 A EBC等于60 .12分19.解：(I )T bnan 12n ， an 2n bn 1又.a n 2an 12n 1,2n bn 12(2n 1 b1) 2n即 bnbn 11 ,n 2, nN ，且 b12所以，数列bn为等差数列（II ）由（I）可得bnb1(n 1)d n 1又 an2n bn 1 , an(n 1)2n 1(n N )令bn(n 1)2n且其前n项和为，Tn2 2 3 22 4 23(n 1)2n 2Tn2 22 3 23nn 1n 2
