排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

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1、排列组合的二十种解法（最全的 排列组合方法总结）教学目标1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。2. 掌握解决排列组合问题的常用策略 ;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有燐办法，在第1类办法中有m种不 同的方法，在第2类办法中有m种不同的方法，, 在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事 共有：n种不同的方法2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不 同的方法，做第2步有m种不同的方法，做第n 步有m种不同的方法，那么完成这件

2、事共有：n|1N = m x m x x m种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以 独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事 件的一个阶段，不能完成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类 或是分步与分类同时进行 ,确定分多少步及多少 类。3. 确定每一步或每一类是排列问题 （有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优

3、先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排以免C4 A4 C1A34C1C1 A3 288434不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有C1 然后排首位共有3 C1 最后排其它位置共4 有 由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最 常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种 葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共 有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成

4、整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由 分步计数原理可得共有如加=颗种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20 三不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱, 舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多 少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有心 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种嵐不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有知：种二丰 40苗口餌7TT 土4m 迟

5、若心窒曲缶砧二丰 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那 么不同插法的种数为四定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不 同的排法解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A 7/ A3（空位法）设想有7 73 把椅子让除甲乙丙以外的四人1=1就坐共有A 4种方法，其余的三个位置甲乙 丙共有1噺坐法，则共有A4种方法。7思考:可以先让甲乙丙就坐吗？插入法）先排甲乙丙

6、三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法定序问题可以用倍缩练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？C5五.重排问1题0 求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种 不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7种分依此类推，由分步计数原理共有种不同的排允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象， 元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位练习题：1 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法

7、的种数为 42 2某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自 的一层下电梯,下电梯的方法78六环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A 4并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)！种排法即7 ！ECAGABCDEFGHA亠般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排乍法如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七. 多排问题直排策略例7. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排, 丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,

8、可以把椅子排成一排.个特殊元素有A 2种,再排后4114个位置上的特殊元素丙有Ai种,其余的5人4A2A1 A5445在5个位置上任意排列有A 5种,则共有A 2 A 1 A 5种5亠般地,元素分成多排的排列问练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座 位，现安排2人就座规定前排中间的3个座 位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不 同排法的种数是 346八. 排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至 少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C 2_5 种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装 入4个不同的盒内有A

9、4种方法，根据分步计数4原理装球的方法共有-454解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192种九. 小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的 五位数有多少个？解：把1,5,2, 4当作一个小集团与3排队共A2A222有A2种排法，再排小集团内部共有A2A2种排A2A2A22222 2 2 法厂由分步计数原理共有种排法.小集团排列问题中，先整体后局练习题：1. 计划展出1

10、0幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油 画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那 么共有陈列方式的种数为A 2 A 5 A 4254A2A5A52552. 5男生和5女生站成一排照像，男生相邻,女生也 相邻的排法有A 2 A 5 A 5种255十元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中 选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应 一种分法共有C 6种分法。9班班五 班班七 班将n个相同的

11、元素分成m份（n, m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n练习题：1 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ C42 . x+y+z+二100求这个方程组的自然数解的组数C3十一.正难则反总体淘汰策略 103例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C 3，只含有1个偶数的取法有C1C 2，和为偶数的取_55 5法共有C1C2+C3。再淘汰和小于帀的偶数共9种，.5

12、5.5符合条件的取法共有C1C2 + C3 _ 9555丨有些排列组合问题，正面直接考虑比较复练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多 少分法？解:分三步取书得 C2C2C2 种方法,但这里出现重复 计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一 步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF), 则C2C2C2中 还 有642(ab,ef,cd),(cd,ab,efJ7TEf,ab)(ef,cd,AB),(EF,AB,CD)共有A 3种取法

13、，而这些分法仅是(ab,cd,ef) 一种分法,故共有种C2C2C2 / A3分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情 况，所以分组后要一定要除以(为均分的组数)练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个 队，有多少分法？( C5 C4C4 / A 2 )2.10名学生分成3组,13其8 中4 一2 组4人,另两组3人但 正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法(1540)3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为C2C2A2/A24262十三. 合理分类与分步策略例 13.在一次演

14、唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱 歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴 舞的节目,有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有C2C 2种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人33员CCC种,只会唱的5人中只有2人选上唱534歌人员有C 2C 2种，由分类计数原理共有5 - 5C 2C 2 + C1C1C 2 + C 2C 23353455种。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性练习题：1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会，若这 4 人

15、中必须既有男生又有女生，则不同 的选法共有3423成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2号船 最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多 少乘船方法. （27）本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果十四.构造模型策略例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满 足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排