《福建师范大学22春《常微分方程》补考试题库答案参考74》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学22春《常微分方程》补考试题库答案参考74（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学22春常微分方程补考试题库答案参考1. 设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角正确答案：aca(ab)b(aa)a(ab)bca(bb)b(ba)b(ba)2. 计算y=3x2在0，1上与x轴所围成平面图形的面积=( )A.0B.1C.2D.3参考答案：B3. 已知某产品的净利润P与广告支出x有如下的关系：Pba(xP) 其中a、b为正的已知常数，用P(0)P。0已知某产品的净利润P与广告支出x有如下的关系：Pba(xP) 其中a、b为正的已知常数，用P(0)P。0 求PP(x)正确答案：4.
2、 下列论断哪些是对的，哪些是错的?对于错的举出反例，并且把错误的论断改正过来 (i) (ii) (iii) (iv)下列论断哪些是对的，哪些是错的?对于错的举出反例，并且把错误的论断改正过来(i)(ii)(iii)(iv)(i)对 (ii)错 例如，A=1，2，B=2)应改为 (iii)错 例如，以、B同(ii)所设，应改为 (iv)对 5. 用Gauss消元法求解下列方程组Ax=b。用Gauss消元法求解下列方程组Ax=b。x=(2，2，3)T$x=(0，1，-1，0)T6. 函数的极大值就是它的最大值。( )A.错误B.正确参考答案：A7. (哈达玛不等式)设A=detaik为n级行列式，
3、其中之元素均为实数而合条件ak12+ak22+akn2=1，(k=1，2，n). 则(哈达玛不等式)设A=detaik为n级行列式，其中之元素均为实数而合条件ak12+ak22+akn2=1，(k=1，2，n).则必|A|1证明要应用拉格朗日乘数法来证显然本题中的辅助方程(条件方程)为 k=ak12+ak22+akn2-1=0，(k=1，2，n) 以k表乘数，置 于是从方程 得等式Ajk+jajk=0其中Ajk为A中之ajk元素所对应的子行列式 于等式两端乘以ajk并对k=1，2，n而求和，则得 A+j=0，(j=1，2，n)因之，j=-A亦即Ajk=Aajk，(j，k=1，2，n)故得出 ，
4、亦即An-1=An+1由于A的极大极小值必须合于上列方程，故不难推知A的极大值为+1，极小值为-1因此|A|1 8. 函数y=cosx+tan2x的值域是所有实数。( )A.正确B.错误参考答案：A9. 设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是实系数多项式，n2，且某个ak=0(1kn-1)，及当ik时，ai0。证明：若f(x)有n个设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是实系数多项式，n2，且某个ak=0(1kn-1)，及当ik时，ai0。证明：若f(x)有n个相异的实根，则ak-1ak+10证法1 由罗尔定理可知，在可导函数的两个零点之间，其导数在某点为零,因此
5、，如果f(k-1)(x)有n-k+1个相异的零点，则f(k)(x)有n-k个零点，且f(k)(x)的零点位于f(k-1)(x)的每两个相邻零点之间 由于f(x)=anxn+a1x+a0，则 f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k11)!ak-1,C1=k！ak=0, 假设ak-1,ak+1同号，不妨设ak-10，ak+10，则f(k-1)(x)在点x=0的左方某邻域内单调减少；在点x=0的右方某邻域内单调增加,而f(k)(0)=0，可知f(k-1)(0)=C00为f(k-1)(x)的极小值 若f(k)(x)无其他零点，则对任意x0，应有f(k-1)(
6、x)f(k-1)(0)=C00，因此f(k-1)(x)也没有零点，矛盾 若x0是f(k)(x)与x=0相邻的零点，则在x=0与x0之间有f(k-1)(x)C00，这与f(k-1)(x)在0与x0为端点的区间内存在零点矛盾 从而可知ak-1ak+10 证法2 由于 f(k-1)(x)=C0+C1x+C2x2+Cn-k+1xn-k+1其中C0=(k-1)!ak-10,C1=k！ak=0， f(k-1)(x)有n-k+1个互异的零点，设为x1x2xn-k+1， 由于C00，可见 x1x2xn-k+10则多项式 (x)=Cn-k+1+Cn-kx+C2xn-k-1+C1xn-k+C0xn-k+1有互异的
7、零点由罗尔定理可知 有不相等的二实根但C1=0，因此 即 ak-1ak+10由前面几题可以发现，讨论方程根的存在性，常常利用函数的单调性、函数的极值、闭区间上连续函数的介值定理、罗尔定理以及综合运用上述性质 10. 利用夹逼准则，求(a0)利用夹逼准则，求(a0)当a1时，而(n)，由夹逼准则知. 当0a1时，而(n)，由夹逼准则知所以 11. 向量组1，2，s的秩为r，则至少有一个含r个向量的无关部分组 向量组1，2，s的秩为r，则其中任意r个向向量组1，2，s的秩为r，则至少有一个含r个向量的无关部分组向量组1，2，s的秩为r，则其中任意r个向量组成的部分组线性无关？例 设1=(3,4,1
8、),2=(5,17,2),3=(14,2,1),4=(11,25,4).知r(1，2，3，4)=3但部分组1，2，4线性相关，因为4=21+2.12. 曲线y=x2+x-2在点(1.5，1.75)处的切线方程为( )A.16x-4y-17=0B.16x+4y-31=0C.2x-8y+11=0D.2x+8y-17=0参考答案：A13. 定积分是微分的逆运算。( )A.正确B.错误参考答案：B14. 函数y=2008x+cosx-sinx的2008阶导数等于( )A.2008B.cosx-sinxC.sinx-cosxD.sinx+cosx参考答案：B15. 某制造公司有5个工厂A1，A2，A3，
9、A4，A5，都可以生产4种产品B1，B2，B3，B4有关的生产数据及获利情况如表4.18所示某制造公司有5个工厂A1，A2，A3，A4，A5，都可以生产4种产品B1，B2，B3，B4有关的生产数据及获利情况如表4.18所示该公司销售部根据市场需求情况规定：B1的产量不能多于200件；B2的产量最多为650件；B3的产量最少为300件，最多为700件；B4的产量最少为500件，无论生产多少都可卖出试作一线性规划，以求得使总利润最大的生产计划表4.18产 品所需工时/小时利润/(元/件)A1A2A3A4A5B1B2B3B4375964345469547520151712可用工时/小时1500180
10、0110014001300设工厂 Ai生产产品Bj的件数为xij(/i=1，2，3； j = 1，2，3，4)，则得 max z=20(x11+x21+x31+x51) +15(x12+x22+x32+x52) +17(x13+x23+x33+x43) +12(14+x34+x44+x54)， s.t. 3x11+7x12+5x13+9x141500， 6x21+4x22+3x231800， 4x31+5x32+4x33+6x341100， 9x43+5x441400， 4x51+7x52+5x541300， x11+x21+x31+x51200， x12+x22+x32+x52650， 30
11、0x13+x23+x33+x43700， x14+x34+x14+x54500, xij0 (i=1，2，3，4，5； j=1，2，3，4) 16. 设u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，z=z(x，y)由方程zexyey=zez所确定，求du设u=f(x，y，z)有连续一阶偏导数，z=z(x，y)由方程zex-yey=zez所确定，求du17. 当x0时，下列函数是无穷大量的是( )。A.1/exB.sinx/xC.lnxD.1/x参考答案：D18. 求下列微分方程的通解 x3y&39;-x2y+2xy&39;-2y=x3+3x求下列微分方程的通解x3y-x2y+2xy-2y=x3+3x令
12、x=e，即=Inx，于是 ， 代入原方程可得 对应的齐次方程的通解为 又 ，分别为非齐次线性微分方程与的特解，故方程(*)的通解为令=Int，则原方程的通解为 19. 设uab2c，va3bC，试用n、b、c来表示2u3v设uab2c，va3bC，试用n、b、c来表示2u3v正确答案：2u3v2(ab2c)3(a3bc)5a11b7c2u3v2(ab2c)3(a3bc)5a11b7c20. R为含幺环，a，bR，且a-1，b-1R，证明：(ab)-1=b-1a-1R为含幺环，a，bR，且a-1，b-1R，证明：(ab)-1=b-1a-1(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aa-1=
13、1 (b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=1 于是b-1a-1是ab的逆元，即(ab)-1=b-1a-1 21. 向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组. 若向量向量组1，2，s的秩为r，当每个向量都可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组.若向量组1，2，s的秩为r，且其中有一个向量可以由其中某r个向量线性表出，则这r个向量即为一极大无关组？例 设1=(11,13,15),2=(22,26,30),3=(1,1,0),4=(2,0,0),5=(5，5，0)，可知r(1，2，3，4，5)=3，且1可以由2，3，5线性表出，但2，3，5不为极大无关组22. 设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为：对于任意的a
