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1、-函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：奇偶性是一种特殊的对称性1、奇偶性:1 奇函数关于0，0对称，奇函数有关系式2偶函数关于y即*=0轴对称，偶函数有关系式 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 1函数的轴对称：函数关于对称也可以写成或假设写成：，则函数关于直线对称证明：设点在上，通过可知，即点上，而点与点关于*=a对称。得证。说明：关于对称要求横坐标之和为，纵坐标相等。关于对称，函数关于对称关于对称，函数关于对称关于对称，函数关于对称2函数的点对称：函数关于点对称或假设写成：，函数关于点对称 证明：设点在上，即，通过可知，所以，所以点也在上，
2、而点与关于对称得证。说明:关于点对称要求横坐标之和为,纵坐标之和为,如之和为。3函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(*,y)=0，则有可能会出现关于对称，比方圆它会关于y=0对称。4复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数yfg(*)为偶函数，则fg(*)fg(*)。复合函数yfg(*)为奇函数，则fg(*)fg(*)。性质2、复合函数yf(*a)为偶函数，则f(*a)f(*a)；复合函数yf(*a)为奇函数，则f(*a)f(a*)。性质3、复合函数yf(*a)为偶函数，则yf(*)关于直线*
3、a轴对称。复合函数yf(*a)为奇函数，则yf(*)关于点(a,0)中心对称。总结：*的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程总结：*的系数一个为1，一个为-1，f(*)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。总结：*的系数同为为1，具有周期性。(二)、两个函数的图象对称性1、与关于*轴对称。证明：设上任一点为则，所以经过点与关于*轴对称，与关于*轴对称.注：换种说法：与假设满足，即它们关于对称。2、与关于Y轴对称。证明：设上任一点为则，所以经过点与关于Y轴对称，与关于Y轴对称。注：因为代入得所以经过点换种说法：与假设满足，即它们关于对称。3、与关于直线对称
4、。证明：设上任一点为则，所以经过点与关于轴对称，与关于直线对称。注：换种说法：与假设满足，即它们关于对称。4、与关于直线对称。证明：设上任一点为则，所以经过点与关于轴对称，与关于直线对称.注：换种说法：与假设满足，即它们关于对称。5、关于点(a,b)对称。证明：设上任一点为则，所以经过点与关于点(a,b)对称，关于点(a,b)对称.注：换种说法：与假设满足，即它们关于点(a,b)对称。6、与关于直线对称。证明：设上任一点为则，所以经过点,经过点,与关于直线对称，与关于直线对称。三、总规律：定义在上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。一、 同一函数的周
5、期性、对称性问题(即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当*取定义域内的每一个值时，都有都成立，则就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、 周期性：1函数满足如下关系式，则 A、 B、 C、或等式右边加负号亦成立 D、其他情形 2函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于*轴两条直线对称，则函数一定是周期函数3如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为以上 如果偶函数满足则亦可
6、以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为以上4如果奇函数满足，则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足，则函数是以2T为周期的周期性函数。定理1：假设函数在R上满足，且其中，则函数以为周期. 定理2：假设函数在R上满足，且其中，则函数以为周期.定理3：假设函数在R上满足，且其中，则函数以为周期.定理4：假设函数f(*)的图像关于直线*=a和*=b都对称，则f(*)是周期函数，2b-a是它的一个周期未必是最小正周期。定理5：假设函数f(*)的图像关于点a,c和(b,c)都成中心对称，则f(*)是周期函数，2b-a是它的一个周期未必是最小正周期。定理6：假设函数f(*)关于点a,c和*=b都对称，则f(*)是周期，4b-a是它的一个周期未必是最小正周期。定理7：假设函数f(*)满足f(*-a)=f(*+a)(a0),则f(*)是周期函数，2a是它的一个周期。定理8：假设函数f(*)满足f(*+a)=-f(*)(a0)(或f(*+a)=或f(*+a)=)则f(*)周期函数，2a是它的一个周期。定理9：假设函数,则f(*)是周期函数，4a是它的一个周期。假设f(*)满足,则f(*)是周期函数，2a是它的一个周期。. z.
