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1、-函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性:奇偶性是一种特殊的对称性1、奇偶性:1 奇函数关于0,0对称,奇函数有关系式2偶函数关于y即*=0轴对称,偶函数有关系式 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 1函数的轴对称:函数关于对称也可以写成或假设写成:,则函数关于直线对称证明:设点在上,通过可知,即点上,而点与点关于*=a对称。得证。说明:关于对称要求横坐标之和为,纵坐标相等。关于对称,函数关于对称关于对称,函数关于对称关于对称,函数关于对称2函数的点对称:函数关于点对称或假设写成:,函数关于点对称 证明:设点在上,即,通过可知,所以,所以点也在上,
2、而点与关于对称得证。说明:关于点对称要求横坐标之和为,纵坐标之和为,如之和为。3函数关于点对称:假设函数关于对称,即关于任一个值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(*,y)=0,则有可能会出现关于对称,比方圆它会关于y=0对称。4复合函数的奇偶性的性质定理:性质1、复数函数yfg(*)为偶函数,则fg(*)fg(*)。复合函数yfg(*)为奇函数,则fg(*)fg(*)。性质2、复合函数yf(*a)为偶函数,则f(*a)f(*a);复合函数yf(*a)为奇函数,则f(*a)f(a*)。性质3、复合函数yf(*a)为偶函数,则yf(*)关于直线*
3、a轴对称。复合函数yf(*a)为奇函数,则yf(*)关于点(a,0)中心对称。总结:*的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程总结:*的系数一个为1,一个为-1,f(*)整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心。总结:*的系数同为为1,具有周期性。(二)、两个函数的图象对称性1、与关于*轴对称。证明:设上任一点为则,所以经过点与关于*轴对称,与关于*轴对称.注:换种说法:与假设满足,即它们关于对称。2、与关于Y轴对称。证明:设上任一点为则,所以经过点与关于Y轴对称,与关于Y轴对称。注:因为代入得所以经过点换种说法:与假设满足,即它们关于对称。3、与关于直线对称
4、。证明:设上任一点为则,所以经过点与关于轴对称,与关于直线对称。注:换种说法:与假设满足,即它们关于对称。4、与关于直线对称。证明:设上任一点为则,所以经过点与关于轴对称,与关于直线对称.注:换种说法:与假设满足,即它们关于对称。5、关于点(a,b)对称。证明:设上任一点为则,所以经过点与关于点(a,b)对称,关于点(a,b)对称.注:换种说法:与假设满足,即它们关于点(a,b)对称。6、与关于直线对称。证明:设上任一点为则,所以经过点,经过点,与关于直线对称,与关于直线对称。三、总规律:定义在上的函数,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。一、 同一函数的周
5、期性、对称性问题(即函数自身)(一)、函数的周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使得当*取定义域内的每一个值时,都有都成立,则就把函数叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、 周期性:1函数满足如下关系式,则 A、 B、 C、或等式右边加负号亦成立 D、其他情形 2函数满足且,则可推出即可以得到的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于*轴两条直线对称,则函数一定是周期函数3如果奇函数满足则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为,根据可以找出其对称中心为以上 如果偶函数满足则亦可
6、以推出周期是2T,且可以推出对称中心为,根据可以推出对称轴为以上4如果奇函数满足,则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足,则函数是以2T为周期的周期性函数。定理1:假设函数在R上满足,且其中,则函数以为周期. 定理2:假设函数在R上满足,且其中,则函数以为周期.定理3:假设函数在R上满足,且其中,则函数以为周期.定理4:假设函数f(*)的图像关于直线*=a和*=b都对称,则f(*)是周期函数,2b-a是它的一个周期未必是最小正周期。定理5:假设函数f(*)的图像关于点a,c和(b,c)都成中心对称,则f(*)是周期函数,2b-a是它的一个周期未必是最小正周期。定理6:假设函数f(*)关于点a,c和*=b都对称,则f(*)是周期,4b-a是它的一个周期未必是最小正周期。定理7:假设函数f(*)满足f(*-a)=f(*+a)(a0),则f(*)是周期函数,2a是它的一个周期。定理8:假设函数f(*)满足f(*+a)=-f(*)(a0)(或f(*+a)=或f(*+a)=)则f(*)周期函数,2a是它的一个周期。定理9:假设函数,则f(*)是周期函数,4a是它的一个周期。假设f(*)满足,则f(*)是周期函数,2a是它的一个周期。. z.